Lösungsmenge des gleichungssy. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 30.06.2013 | | Autor: | Jnnns |
| Aufgabe | [mm] \textbf{Aufgabe 1}
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösungsmenge des Gleichungssystems [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{y} \\
[/mm]
[mm] A:=\left(
\begin{array}{rrrrr}
1&-1&2&1&0 \\
-2&4&-2&-1&3 \\
0&-2&-2&-1&-3 \\
1&-2&2&1&1 \\
\end{array}\right) [/mm] , [mm] \vec{y} =\left( \begin{array}{r}
1\\4\\-6\\1
\end{array}\right) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Erst ein mal Guten Tag und im Vorfeld Danke für jede mögliche Hilfe.
Ich habe die Matrize soweit gelöst das raus kommt [mm] \\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
1&-1&2&1&0&1 \\
0&-1&0&0&1&0 \\
0&0&2&1&5&6 \\
0&0&0&0&0&0 \\
\end{array}\right)
[/mm]
Wir haben die lösung bekommen in der steht [mm] \\
[/mm]
L = [mm] \{\vec{x}\in\mathbb{R}^{5}|\vec{x}=\vec{x_0}+s\vec{v}+t\vec{w},s,t\in\mathbb{R}\} \\
[/mm]
[mm] \vec{x_0} [/mm] = [mm] (-5,0,3,0,0),\\
[/mm]
[mm] \vec{v} =(0,0,-1,2,0),\\
[/mm]
[mm] \vec{w}=(12,2,-5,0,2).\\
[/mm]
Meine Frage wie kommen die auf diese Lösung. [mm] \\
[/mm]
Ich habe versucht in der 2ten Zeile [mm] x_{2}=x_{5} [/mm] zu setzen, [mm] \\ [/mm] und dann in die 3te Zeile einzusetzen, aber klappt alles nicht.
kann mir da Jemand weiterhelfen? Danke im Vorraus
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> [mm]\textbf{Aufgabe 1}[/mm]
> Bestimmen Sie jeweils mit dem
> Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösungsmenge des
> Gleichungssystems [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{y} \\[/mm]
> [mm]A:=\left(
\begin{array}{rrrrr}
1&-1&2&1&0 \\
-2&4&-2&-1&3 \\
0&-2&-2&-1&-3 \\
1&-2&2&1&1 \\
\end{array}\right)[/mm]
> , [mm]\vec{y} =\left( \begin{array}{r}
1\\4\\-6\\1
\end{array}\right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Erst ein mal Guten Tag und im Vorfeld Danke für jede
> mögliche Hilfe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Ich habe die Matrize
Matrix.
> soweit gelöst das raus kommt
man "löst" keine Matrizen.
Du hast sie auf Zeilenstufenform (hab' ich nicht geprüft!) gebracht, und das ist gut so.
> [mm]\\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
\red{1}&-1&2&1&0&1 \\
0&\red{-1}&0&0&1&0 \\
0&0&\red{2}&1&5&6 \\
0&0&0&0&0&0 \\
\end{array}\right)[/mm]
man sieht: der rang der Koeffizientenmatrix und der der erweiterten Koeffizientenmatrix stimmen überein. Das System hat eine Lösung.
>
> Wir haben die lösung bekommen in der steht [mm]\\[/mm]
> L =
> [mm]\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{5}|\vec{x}=\vec{x_0}+s\vec{v}+t\vec{w},s,t\in\mathbb{R}\} \\[/mm]
>
> [mm]\vec{x_0}[/mm] = [mm](-5%2525252525252C0%2525252525252C3%2525252525252C0%2525252525252C0)%2525252525252C%2525252525255C%2525252525255C[/mm]
> [mm]\vec{v} =(0,0,-1,2,0),\\[/mm]
> [mm]\vec{w}=(12,2,-5,0,2).\\[/mm]
> Meine Frage wie kommen die auf diese Lösung. [mm]\\[/mm]
Stellen wir eine viel wichtigere Frage:
wie kannst Du von Deiner ZSF zur Lösung kommen?
Ich sag's Dir:
In der ZSF stehen die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in Spalte 1,2,3.
Also kann man die 4. und 5.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_5:=t
[/mm]
[mm] x_4:=s
[/mm]
bekommt man aus Zeile 3
[mm] 2x_3+x_4+5x_5=6 [/mm] <==>
[mm] x_3=3-0.5x_4-2.5x_5=3-0.5s-2.5t,
[/mm]
aus Zeile 2
[mm] -x_2+x_5=0 [/mm] <==>
[mm] x_2=x_5=t,
[/mm]
und aus Zeile 1
[mm] x_1-x_2+2x_3+x_4=1 [/mm] <==>
[mm] x_1=1+x_2-2x_3-x_4=1+t-2(3-0.5s-2.5t)-s=-5+6t.
[/mm]
Also haben alle Lösungen die Gestalt
[mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_5}=\vektor{-5+6t\\t\\3-0.5s-2.5t\\s\\t}=\underbrace{\vektor{-5\\0\\3\\0\\0}}_{\vec{x_0}}+s*\underbrace{\vektor{0\\0\\-0.5\\1\\0}}_{\vec{v}}+t*\underbrace{\vektor{6\\1\\-2.5\\0\\1}}_{\vec{w}}.[/mm]
[mm] \vec{x_0} [/mm] ist eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS und [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] spannen zusammen den Lösungsraum des homogenen Systems auf.
Der Lösungsraum L des LGS Ax=y ist
[mm] L=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{5}|\vec{x}=\vec{x_0}+s\vec{v}+t\vec{w},s,t\in\mathbb{R}\}.
[/mm]
Das ist ja sogar sehr ähnlich zu der Dir vorliegenden Lösung.
Aber es gibt mehrere Möglichkeiten, den Lösungsraum anzugeben, weil es ja mehrere spezielle Lösungen gibt, und weil man für den Lösungsraum des homogenen Systems verschiedene Basen angeben kann.
---
Man kann übrigens ausgehend von der ZSF weiterarbeiten zur reduzierten ZSF (Nullen über den führenden Elementen der Nichtnullzeilen) und dann die Lösungsmenge sehr einfach ablesen:
[mm]\\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
\red{1}&-1&2&1&0&1 \\
0&\red{-1}&0&0&1&0 \\
0&0&\red{2}&1&5&6 \\
0&0&0&0&0&0 \\
\end{array}\right)[/mm] --> [mm]\\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
\red{1}&0&0&0&-4&-5 \\
0&\red{1}&0&0&-1&0 \\
0&0&\red{1}&0.5&2.5&3 \\
0&0&0&0&0&0 \\
\end{array}\right)[/mm]
Wir ergänzen durch Nullzeilen zu einer quadratischen Matrix, so daß die führenden Einsen auf der Hauptdiagonalen stehen:
[mm]\\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
\red{1}&0&0&0&-4&-5 \\
0&\red{1}&0&0&-1&0 \\
0&0&\red{1}&0.5&2.5&3 \\
0&0&0&0&0&0 \\
0&0&0&0&0&0
\end{array}\right)[/mm]
Rechts lesen wir nun eine spezielle Lösung ab:
[mm] x_0=\vektor{-5\\0\\3\\0\\0}.
[/mm]
Links subtrahieren wir die Einheitsmatrix ("Minus-1-Trick"):
[mm]\\\left(
\begin{array}{rrrrr|r}
0&0&0&0&-4&-5 \\
0&0&0&0&-1&0 \\
0&0&&0.5&2.5&3 \\
0&0&0&-1&0&0 \\
0&0&0&0&-1&0
\end{array}\right)[/mm]
Die Nichtnullspalten links bilden eine Basis des homogenen Systems.
LG Angela
> Ich habe versucht in der 2ten Zeile [mm]x_{2}=x_{5}[/mm] zu setzen,
> [mm]\\[/mm] und dann in die 3te Zeile einzusetzen, aber klappt alles
> nicht.
> kann mir da Jemand weiterhelfen? Danke im Vorraus
>
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