Lösungen von z^3 = 1+i < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 26.02.2012 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] z^3 [/mm] = 1+i. |
Hallo zusammen.
Ich komme mit den Polarkoordinaten der komplexen Zahlen noch nicht so ganz zu recht.
Ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen, weiß allerdings nicht, ob meine Lösung und v.a. der Lösungsweg stimmt.
Es wäre sehr nett, wenn ihr mal drüber schauen könntet.
Ich weiß:
1.) jede komplexe Zahl z vom Betrag 1 hat die Gestalt z= r* [mm] e^{i \phi} [/mm] mit [mm] \phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi) [/mm] und r= |z| und r>0.
2.) 1 = [mm] e^{i \phi*n } [/mm] = [mm] e^{2 \pi *k*i} [/mm] mit k={0,...,n-1}
Ich habe mir dann überlegt, dass gilt:
[mm] z^3 [/mm] = ( r* [mm] e^{i \phi})^3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1+i = [mm] r^3 [/mm] * [mm] (e^{i \phi})^3 [/mm] (*)
da r = |z| ist [mm] r^3 [/mm] = [mm] |z|^3
[/mm]
[mm] \gdw r^3 [/mm] = [mm] |z^3| [/mm]
[mm] \gdw r^3 [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] r= [mm] \wurzel[3] {\wurzel{2}}
[/mm]
r habe ich dann in (*) eingesetzt:
1+i = [mm] (\wurzel[3] {\wurzel{2}})^3 [/mm] * [mm] (e^{i \phi})^3
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1+i}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] (e^{i \phi})^3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] (e^{i \phi})^3
[/mm]
für 1= [mm] (e^{i \phi*n} [/mm] ) = [mm] (e^{2 \pi i k}) [/mm] mit k= {0,...., n-1}
also :
i [mm] \phi [/mm] *3= 2 [mm] \pi [/mm] k i
[mm] \gdw \phi [/mm] = 2/3 [mm] \pi [/mm] k mit k = {0,...,2}
daraus folgt dann meine Darstellungen für die Lösungen [mm] z_{k} [/mm] mit k = {0,..2}
[mm] z_{k}= \wurzel[3] {\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e^{2/3 \pi *k* i } [/mm] mit k={0,...,2}.
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moin Biensche,
Deine Weg sieht ein wenig kompliziert aus und auch das Ergebnis ist nicht ganz gut.
Bilde mal die dritte Potenz deines Ergebnisses, dann steht da [mm] $e^{2\pi*k*i}$, [/mm] das ist 1 und somit sicher nicht $1+i$, auch nicht mit der Wurzel davor.
Betrachte dir mal $1+i$ in Polarkoordinaten:
$1+i = [mm] \sqrt{2}*e^{\pi/4*i}$
[/mm]
Nun zieh daraus die dritte Wurzel.
Der Ansatz mit dem $k$ war schon nicht schlecht, nur irgendwo unterwegs ist bei dir etwas schief gelaufen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Biensche |
Wie kommst du auf die Darstellung von
1+i = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{ \bruch{\pi}{4}* i} [/mm] ,
genauer gesagt, wie kommst du auf [mm] e^{ \bruch{\pi}{4}* i}? [/mm]
Die [mm] \wurzel{2} [/mm] = r = |z|= [mm] \wurzel{ Re(z)^2+Im(z)^2}, [/mm] soweit ist mir das klar.
Aber den Rest versteh ich irgendwie nicht so ganz... :(
Wenn ich, wie du sagst, aus [mm] z^3= [/mm] 1+i = [mm] \wurzel{2} e^{\bruch{\pi}{4} i} [/mm] die 3. Wurzel ziehe, dann kommt bei mir
[mm] z_{k}= \wurzel[6] [/mm] {2}* [mm] e^{1/12 \pi i k} [/mm] raus für k={0,..2}. Stimmt das?
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Hi!
> Wie kommst du auf die Darstellung von
>
> 1+i = [mm]\wurzel{2}[/mm] * [mm]e^{ \bruch{\pi}{4}* i}[/mm] ,
>
> genauer gesagt, wie kommst du auf [mm]e^{ \bruch{\pi}{4}* i}?[/mm]
> Die [mm]\wurzel{2}[/mm] = r = |z|= [mm]\wurzel{ Re(z)^2+Im(z)^2},[/mm] soweit
> ist mir das klar.
> Aber den Rest versteh ich irgendwie nicht so ganz... :(
>
> Wenn ich, wie du sagst, aus [mm]z^3=[/mm] 1+i = [mm]\wurzel{2} e^{\bruch{\pi}{4} i}[/mm]
> die 3. Wurzel ziehe, dann kommt bei mir
>
> [mm]z_{k}= \wurzel[6][/mm] {2}* [mm]e^{1/12 \pi i k}[/mm] raus für
> k={0,..2}. Stimmt das?
>
>
Gegeben ist [mm]z=1+i[/mm] (kartesische Koordinaten)
Du möchtest das nun in Polarkoordinaten (r,[mm]\phi[/mm]) umrechnen.
Es ist: [mm]z=x+iy=r(cos(\phi)+i \cdot sin(\phi))=r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm]
wobei: [mm]r=|z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und [mm]\tan(\phi)=\bruch{y}{x}[/mm]
[mm]r=\wurzel{1^2+1^2}=\wurzel{2}[/mm]
[mm]tan(\phi)=\bruch{1}{1}=1[/mm]
[mm]\gdw \phi=arctan(1)=\bruch{\pi}{4}[/mm]
Die Umrechnungen, wie du von kartesischen in Polarkoordinaten umrechnest sind wichtig. Die solltest du dir nochmal ansehen.
Damit ist also: [mm]z^3=1+i=\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}}[/mm]
Um nun an alle Lösungen zu kommen nutzt man die Periodizität und multipliziert mit [mm]e^{i \cdot 2 \cdot \pi \cdot k}[/mm] mit [mm]k \in \IN[/mm] ([mm]e^{i2 \pi k}=1[/mm] Für alle k)
Also:
[mm]z^3=\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}} \cdot e^{i 2 \pi k}[/mm]
Du musst nun die e-Funktionen zusammenfassen, "i" ausklammern und die dritte Wurzel ziehen.
Die Lösungen erhälst du für k=0,1,2
Also:
[mm]z_0=[/mm]
[mm]z_1=[/mm]
[mm]z_2=[/mm]
Valerie
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