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| Aufgabe | Gegeben sei ein Gleichungssystem:
[mm] 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
[/mm]
[mm] -2\lambda x_{1}+9x_{2}+\lambda x_{3}=6
[/mm]
[mm] 2x_{1}+\lambda x_{2}+2x_{3}=1
[/mm]
a) Für welche Werte [mm] \lambda \in \IR [/mm] ist das LGS eindeutig lösbar?
b) Für welche Werte [mm] \lambda \in \IR [/mm] existieren unendlich viele Lösungen?
c) Für welche Werte [mm] \lambda \in \IR [/mm] existieren keine Lösungen? |
Hallo zusammen,
Habe mir folgendes überlegt:
Zuerst möchte ich eine "allgemeine Lösung“ des LGS, also abhängig von [mm] \lambda [/mm] und erhoffe mir daraus dann ablesen zu können, wann sich für entsprechende Werte von [mm] \lambda [/mm] eindeutige, unendlich viele bzw. keine Lösungen ergeben.
Mein Verfahren an dieses LGS ranzugehen ist:
Ich schreibe das LGS als erweiterte Koeffizientenmatrix und versuche „die linke Seite“ „auszuräumen“ also zu der Einheitsmatrix umzuformen, gemäß dem Gauß-Algorithmus.
Ist das erstmal die richtige Vorgehensweise?
Dann noch eine allgemeine Frage dazu:
Ich Löse doch dann eine Gleichung der Form:
Ax=b, wobei b ein Spaltenvektor: [mm] b=\vektor{0 \\ 6 \\ 0}. [/mm] Mithilfe des Gauß Verfahrens erhalte ich doch so die Inverse der Matrix A, also ist meine Lösung letztlich: [mm] x=A^{-1}b?
[/mm]
Wäre für Hilfe-konstruktive Kritik dankbar!
Liebe Grüße
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> Gegeben sei ein Gleichungssystem:
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> [mm]2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]
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> [mm]-2\lambda x_{1}+9x_{2}+\lambda x_{3}=6[/mm]
>
> [mm]2x_{1}+\lambda x_{2}+2x_{3}=1[/mm]
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> a) Für welche Werte [mm]\lambda \in \IR[/mm] ist das LGS eindeutig
> lösbar?
>
> b) Für welche Werte [mm]\lambda \in \IR[/mm] existieren unendlich
> viele Lösungen?
>
> c) Für welche Werte [mm]\lambda \in \IR[/mm] existieren keine
> Lösungen?
> Hallo zusammen,
>
> Habe mir folgendes überlegt:
> Zuerst möchte ich eine "allgemeine Lösung“ des LGS,
> also abhängig von [mm]\lambda[/mm] und erhoffe mir daraus dann
> ablesen zu können, wann sich für entsprechende Werte von
> [mm]\lambda[/mm] eindeutige, unendlich viele bzw. keine Lösungen
> ergeben.
>
> Mein Verfahren an dieses LGS ranzugehen ist:
>
> Ich schreibe das LGS als erweiterte Koeffizientenmatrix und
> versuche „die linke Seite“ „auszuräumen“ also zu
> der Einheitsmatrix umzuformen, gemäß dem
> Gauß-Algorithmus.
>
> Ist das erstmal die richtige Vorgehensweise?
Ja. Du wirst nur feststellen, dass du bei deiner Rechnung an eine Stelle kommst, an der du schon eine Fallunterscheidung machen musst, d.h. du kannst nicht alles durchrechnen bis zu einer Lösung, wo dann [mm] \lamba [/mm] noch auftaucht, sondern die Unterscheidung passiert schon auf dem Weg dahin.
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> Dann noch eine allgemeine Frage dazu:
>
> Ich Löse doch dann eine Gleichung der Form:
> Ax=b, wobei b ein Spaltenvektor: [mm]b=\vektor{0 \\ 6 \\ 0}.[/mm]
> Mithilfe des Gauß Verfahrens erhalte ich doch so die
> Inverse der Matrix A, also ist meine Lösung letztlich:
> [mm]x=A^{-1}b?[/mm]
Auch das stimmt, wobei [mm] A^{-1} [/mm] nicht immer existiert - das ist praktisch die Essenz der Aufgabe, weil damit natürlich auch die "Größe" der Lösungsmenge zu tun hat.
>
> Wäre für Hilfe-konstruktive Kritik dankbar!
> Liebe Grüße
lg weightgainer
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