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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen [mm]z \in \IC[/mm] der Gleichung
[mm]|z+3| + |z-3|=10[/mm]
Welche geometrische Gestalt hat die Lösung in der komplexen Ebene? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi ho,
rechne gerade alte Klausuren durch, bei dieser Aufgabe fehlt mir irgendwie der Ansatz, ich weiss nicht wie ich die Beträge auflösen soll.
Mir ist zwar durchaus bewusst das
[mm]|z| = \wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
aber dies hilft mir nicht großartig weiter.
Ich habe folgendes probiert, aber ich glaube ich habe mich da mit den Beträgen vertan:
[mm]|z+3| + |z-3|=10[/mm]
[mm]|z|+|3| + |z|+|-3|=10[/mm]
[mm]2|z|+6=10[/mm]
[mm]|z|=2[/mm]
[mm]\wurzel{x^2 + y^2}=2[/mm]
[mm]x^2 + y^2=4[/mm]
Also ein Kreis mit dem M(0;0) und dem Radius 4?
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> Bestimmen Sie alle Lösungen [mm]z \in \IC[/mm] der Gleichung
>
> [mm]|z+3| + |z-3|=10[/mm]
>
> Welche geometrische Gestalt hat die Lösung in der komplexen
> Ebene?
> Mir ist zwar durchaus bewusst das
>
> [mm]|z| = \wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
>
> aber dies hilft mir nicht großartig weiter.
Hallo,
Du kannst jede komplexe Zahl z schreiben als z=x+iy mit [mm] x,y\in \IR,
[/mm]
und wenn man das getan hat, ist tatsächlich [mm] |z|=\wurzel{x^2 + y^2}.
[/mm]
Anders gesagt: den Betrag erhält man, indem man die Wurzel aus der Summe der Quadrate von real- und Imaginärteil zieht.
Schreib doch mal z als z=x+iy.
Dann hast Du zu lösen
|x+iy+3| + |x+iy-3|=10.
Über die Beträge von komplexen Zahlen haben wir ja nun gesprochen.
Überleg Dir, was von x+iy+3 und x+iy-3 jeweils Real- und Imaginärteil ist.
Und dann rechne weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Angela,
danke für deine flotte Antwort.
Ich bin mir nicht sicher ob ich deinen Rat richtig verstanden habe, habe nun ein neues Ergebnis ...
[mm]|x+iy+3|+|x+iy-3|=10[/mm]
[mm]\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}=10[/mm]
[mm](x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=10^2[/mm]
[mm]2x^2+2y^2+18=10^2[/mm]
[mm]x^2+y^2=41[/mm]
War das der richtige Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 03.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela,
>
> danke für deine flotte Antwort.
>
> Ich bin mir nicht sicher ob ich deinen Rat richtig
> verstanden habe, habe nun ein neues Ergebnis ...
>
> [mm]|x+iy+3|+|x+iy-3|=10[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}=10[/mm]
>
> [mm](x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=10^2[/mm]
>
> [mm]2x^2+2y^2+18=10^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2=41[/mm]
>
> War das der richtige Weg?
Nein. Das Quadrat von [mm]\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}[/mm] ist nicht
[mm](x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2[/mm].
Zum Quadrieren einer Summe benötigst du die binomische Formel (du hast nur beide Summanden quadriert, aber das doppelte Produkt vergessen).
Kennst du die Definition einer Ellipse als Menge aller Punkte, deren Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist?
Der Term |z-3| beschreibt in der Zahlenebene den Abstand der komplexen Zahlen z und 3, während |z+3| (was man als
|z-(-3)| schreiben kann) den Abstand der Zahlen z und -3 angibt. Laut Betragsgleichung ist die Summe dieser beiden Abstände 10 und damit konstant. Das Bild ist also eine Ellipse mit den Brennpunkten 3 und -3.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 04.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Abakus,
danke für deine Antwort. Mit dem Quadrieren der Summe haste natürlich Recht, da habe ich gepennt.
Leider habe ich mit Ellipsen noch gar nix gemacht. Als ich mir die Ellipsen angeschaut habe, bin ich auf die Frage gestossen, wie den nun meine Endgültige Form aussehen muss. In meiner Formelsammlung habe ich mehrere Formlen unterschiedlichster Art.
Für mich am ersichtlichsten, ist die Formel mit "Pol im Mittelpunkt", weil dort im Nenner eine Wurzel steht.
Hier mal meine "Lösung":
Ich erweitere mit 3ter Binomische Formel:
[mm]\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}=10[/mm]
[mm]\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)=10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
[mm](x+3)^2+y^2-\left((x-3)^2 +y^2)\right)= 10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
[mm]12x= 10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
[mm]10=\bruch{12x}{\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)}[/mm]
ist das die Rätsels Lösung?
Aber ich muss zugeben, ich habe mit dieser Aufgabe ein Grundsätzliches Problem, weil mir nicht bewusst ist wie den nun die Endform aussehen soll.
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Hallo Lyrone,
> Hallo Abakus,
>
> danke für deine Antwort. Mit dem Quadrieren der Summe haste
> natürlich Recht, da habe ich gepennt.
> Leider habe ich mit Ellipsen noch gar nix gemacht. Als ich
> mir die Ellipsen angeschaut habe, bin ich auf die Frage
> gestossen, wie den nun meine Endgültige Form aussehen muss.
> In meiner Formelsammlung habe ich mehrere Formlen
> unterschiedlichster Art.
> Für mich am ersichtlichsten, ist die Formel mit "Pol im
> Mittelpunkt", weil dort im Nenner eine Wurzel steht.
>
> Hier mal meine "Lösung":
>
> Ich erweitere mit 3ter Binomische Formel:
>
> [mm]\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}=10[/mm]
>
> [mm]\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}+\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)=10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
>
> [mm](x+3)^2+y^2-\left((x-3)^2 +y^2)\right)= 10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
>
> [mm]12x= 10\cdot{}\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)[/mm]
>
> [mm]10=\bruch{12x}{\left(\wurzel{(x+3)^2+y^2}-\wurzel{(x-3)^2+y^2}\right)}[/mm]
>
> ist das die Rätsels Lösung?
Boah, das sieht höllisch aus und ich habe es nicht nachkontrolliert
Wenn du mal von deinem ersten Versuch ausgehst und die Wurzelgleichung quadrierst, so hast du doch
[mm] $(x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2+2\cdot{}\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=100$
[/mm]
Nun die Binome ausrechnen, durch 2 teilen und alles ohne die Wurzeln auf die rechte Seite schaffen, das gibt:
[mm] $\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=41-x^2-y^2$
[/mm]
Nun nochmal quadrieren und zusammenfassen, es fällt das meiste weg, übrig bleibt
[mm] $64x^2+100y^2=1600$
[/mm]
Ohne Gewähr 
>
> Aber ich muss zugeben, ich habe mit dieser Aufgabe ein
> Grundsätzliches Problem, weil mir nicht bewusst ist wie den
> nun die Endform aussehen soll.
Rechne alles nach und stelle die Endgleichung um in die Form [mm] $E:=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
[/mm]
Dann kannst du die Achsen der Ellipse direkt ablesen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hi schachuzipus,
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> Boah, das sieht höllisch aus und ich habe es nicht
> nachkontrolliert
>
> Wenn du mal von deinem ersten Versuch ausgehst und die
> Wurzelgleichung quadrierst, so hast du doch
>
> [mm](x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2+2\cdot{}\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=100[/mm]
>
> Nun die Binome ausrechnen, durch 2 teilen und alles ohne
> die Wurzeln auf die rechte Seite schaffen, das gibt:
>
> [mm]\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=41-x^2-y^2[/mm]
>
> Nun nochmal quadrieren und zusammenfassen, es fällt das
> meiste weg, übrig bleibt
>
> [mm]64x^2+100y^2=1600[/mm]
>
> Ohne Gewähr
Wow, Respekt das du dir die Arbeit gemacht hast, bei mir ging es über ne gute DIN A4 Seite. Danke für deine Mühe(n). Habe glücklicherweise das Gleiche raus.
>
> Rechne alles nach und stelle die Endgleichung um in die
> Form [mm]E:=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
Habe nun folgende Lösung:
[mm]\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1[/mm]
Also ich finde das sieht optisch gut aus. Aber diese Aufgabe war für mich aber auch ein Kampf.
Diesmal endlich richtig?
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
> >
> > Boah, das sieht höllisch aus und ich habe es nicht
> > nachkontrolliert
> >
> > Wenn du mal von deinem ersten Versuch ausgehst und die
> > Wurzelgleichung quadrierst, so hast du doch
> >
> >
> [mm](x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2+2\cdot{}\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=100[/mm]
> >
> > Nun die Binome ausrechnen, durch 2 teilen und alles ohne
> > die Wurzeln auf die rechte Seite schaffen, das gibt:
> >
> > [mm]\sqrt{(x+3)^2+y^2}\cdot{}\sqrt{(x-3)^2+y^2}=41-x^2-y^2[/mm]
> >
> > Nun nochmal quadrieren und zusammenfassen, es fällt das
> > meiste weg, übrig bleibt
> >
> > [mm]64x^2+100y^2=1600[/mm]
> >
> > Ohne Gewähr
>
> Wow, Respekt das du dir die Arbeit gemacht hast, bei mir
> ging es über ne gute DIN A4 Seite. Danke für deine Mühe(n).
> Habe glücklicherweise das Gleiche raus.
>
> >
> > Rechne alles nach und stelle die Endgleichung um in die
> > Form [mm]E:=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
> >
>
> Habe nun folgende Lösung:
>
> [mm]\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Also ich finde das sieht optisch gut aus. Aber diese
> Aufgabe war für mich aber auch ein Kampf.
>
> Diesmal endlich richtig?
Jo, das deckt sich mit meiner Lösung und auch mit der zugehörigen Zeichnung
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Ahh endlich, wunderbar, hat der Krampf ein Ende ... mich hat es schon vor der Aufgabe gegraust.
Danke an alle und vor allem danke an schachuzipus, der es extra ausgerechnet hat, für die Mühe.
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