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Lösungen einer Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Mo 22.04.2013
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichung:

arctan x = [mm] \bruch{1-x}{1+x^2} [/mm]




Hallo,

ich möchte gerne wissen, ob mein Beweis so richtig ist.

Beweis:

Die zu zeigende Gleichung lässt sich äquivalent umformen zu:

x + [mm] arctan(x)*(1+x^2)-1 [/mm] = 0

Setze f(x) := x + [mm] arctan(x)*(1+x^2)-1, [/mm] wobei f: [mm] \IR \to \IR [/mm]

Wir müssen die Nullstellen von f bestimmen.

Da x [mm] \mapsto [/mm] x , x [mm] \mapsto [/mm] arctan x , x [mm] \mapsto 1+x^2 [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] c und c konstant diff'bar sind auf [mm] \IR, [/mm] folgt mit der Summen- und Kettenregel, dass f diff'bar ist auf [mm] \IR. [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig auf [mm] \IR [/mm]

Es gelten: f(0) = -1 < 0 und f(1) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] > 0.

Mit dem Zwischenwertsatz folgt: Es existiert mind. ein a [mm] \in [/mm] [0;1] so, dass f(a) = 0, da aber f(0) = -1 und f(1) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gilt, folgt also a [mm] \in [/mm] (0;1).

Bestimme f'.

f'(x) = 1 + (arctan [mm] x)'*(1+x^2)+arctan(x)*(1+x^2)' [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{1+x^2}*(1+x^2)+arctan(x)*2x [/mm] = 2+arctan(x)*2x = 2*(1+x*arctan x)

Sei x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] [0;+\infty) [/mm]

Sei x < 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] (-\infty;0) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f streng monoton wachsend auf [mm] \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a ist die einzige Lösung.

[mm] \Box [/mm]

        
Bezug
Lösungen einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mo 22.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend,

soweit ich sehe, ist der Beweis korrekt.
Der Nachweis, dass f'(x)>0 ist, sollte aber
deutlicher begründet werden.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Lösungen einer Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Mo 22.04.2013
Autor: Blackburn4717537

Ok, danke schön.
In meinem Beweis habe ich ausführlich hingeschrieben, warum f'(x) > 0 ist. Ich habe das nur hier abgekürzt.

Grüsse
Alexander

Bezug
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