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° Vorraussetzung
[mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\pmat{ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}}*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}
[/mm]
°Aufgabe
[mm] \vektor{13 \\12}=\pmat{ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}}*\vektor{3 \\ 8}
[/mm]
[mm] \vektor{24 \\13}=\pmat{ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}}*\vektor{5 \\ 5}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\6}=\pmat{ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}}*\vektor{8 \\ 4}
[/mm]
° Lösung
[mm] 13=3a_{11}+8a_{12}
[/mm]
[mm] 12=3a_{21}+8a_{22}
[/mm]
[mm] 24=5a_{11}+5a_{12}
[/mm]
[mm] 13=5a_{21}+5a_{22}
[/mm]
[mm] 0=8a_{11}+4a_{12}
[/mm]
[mm] 6=8a_{21}+4a_{22}
[/mm]
° 2.Lösungsschritt
[mm] 3a_{11}+8a_{12}=13\Rightarrow a_{11}=\bruch{13}{3}-\bruch{8}{3}a_{12}
[/mm]
[mm] 3a_{21}+8a_{22}=12\Rightarrow a_{21}=4-\bruch{8}{3}a_{22}
[/mm]
Mir fehlen noch [mm] a_{12} [/mm] und [mm] a_{22}
[/mm]
Kann mir jemand helfen
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> [mm]13=3a_{11}+8a_{12}[/mm]
> [mm]12=3a_{21}+8a_{22}[/mm]
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> [mm]24=5a_{11}+5a_{12}[/mm]
> [mm]13=5a_{21}+5a_{22}[/mm]
>
> [mm]0=8a_{11}+4a_{12}[/mm]
> [mm]6=8a_{21}+4a_{22}[/mm]
>
Du kannst doch aus zwei Gleichungen eine der beiden Variablen beliebig eliminieren. Das heißt, wenn du [mm] a_{12} [/mm] noch brauchst, dann nimm dir einfach zwei Gleichungen mit dieser Variable und eliminiere die andere, auch wenn die Zahlen unschön sind!
z.B:
[mm]13=3a_{11}+8a_{12}[/mm]
[mm]24=5a_{11}+5a_{12}[/mm]
Hier eliminierst du nun [mm] a_{11} [/mm] mit dem gemeinsamen kleinsten Vielfachen 15 und du hast [mm] a_{12} [/mm] usw.
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Hallo,
ich taufe erstmal die variablen um in x,y,z,und t , weil es mich dann nicht so verrückt macht.
> ° Vorraussetzung
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> [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}=\pmat{ x& y\\ z& t}*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> °Aufgabe
>
> [mm]\vektor{13 \\12}=\pmat{ x & y\\ z & t}*\vektor{3 \\ 8}[/mm]
>
> [mm]\vektor{24 \\13}=\pmat{ x & y\\ z& t}*\vektor{5 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\6}=\pmat{ x & y\\ z & t}*\vektor{8 \\ 4}[/mm]
Ich muß wegen der Aufgabenstellung nochmal nachfragen: ich gehe davon aus, daß Ihr nun eine Matrix [mm] \pmat{ x & y\\ z & t} [/mm] angeben sollt, die alle drei Gleichungen löst, richtig?
Oder sollt Ihr für jede der Gleichungen die möglichen Matrizen angeben? Poste doch bitte den originalen Aufgabentext in Zukunft mit.
Ich gehe davon aus, daß die Aufgabe lautet, eine Matrix zu finden, die alle drei Gleichungen löst.
Auf diese Frage antworte ich jetzt.
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> ° Lösung
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>I. [mm]13=3x+8y[/mm]
> [mm]12=3z+8t[/mm]
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>II. [mm]24=5x+5y[/mm]
> [mm]13=5z+5t[/mm]
>
> III. [mm]0=8x+4y[/mm]
> [mm]6=8z+4t[/mm]
>
> ° 2.Lösungsschritt
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> [mm]3x+8y=13\Rightarrow x=\bruch{13}{3}-\bruch{8}{3}y[/mm]
>
> [mm]3z+8t=12\Rightarrow z=4-\bruch{8}{3}t[/mm]
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> Mir fehlen noch [mm]y[/mm] und [mm]t[/mm]
Deine Vorgehensweise ist sinnvoll.
Du kannst die aus Block I. gewonnenen x und z nun in Block II: einsetzen.
Dann hast Du in Block II. nur noch die Variablen y und t, welche Du ausrechnen kannst, das ist ja ein ganz normales LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Wenn Du y und t als Zahlen hast, gehst Du damit in
> [mm] x=\bruch{13}{3}-\bruch{8}{3}y
[/mm]
>
[mm] >z=4-\bruch{8}{3}t.
[/mm]
Danach liegen Dir - wenn alles gut läuft und das GS aus Block I. und II. überhaupt eine Lösung hat, x,y,z,t vor.
Mit diesen gehst Du nun in Block III. und prüfst, ob sich wahre Aussagen ergeben.
Wenn ja, hast Du x,y,z,t gefunden, die das tun , was sie sollen,
wenn nein, dann hat die gestellte Aufgabe keine Lösung - oder Du hast verkehrt gerechnet.
Soviel zu dem von Dir eingeschlagenen Weg.
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Ich möchte noch einen anderen, übersichtlicheren Weg vorschlagen.
Die Blöcke I., II., III. liefern Dir ein LGS aus 6 Gleichungen in Variablen.
Stell die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringe sie mit dem Gaußverfahren auf ZSF, an welcher man dann die Lösung vergleichsweise leicht ablesen kann.
Dies entspricht dem Vorschlag von Adamantin.
Gruß v. Angela
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> Kann mir jemand helfen
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Danke für dein Tip
Es geht um die Affine Chiffre aus dem Gebit Kryptografie.
Wir müssen die Matrix A und die inverse Matrix ermitteln..
Mein weg find ich zu kompliziert, weil das nur eine Teilaufgabe einer Klausur ist, wo man max 5 Minuten zum lösen hat.
Ich verstehe dein Vorschlag nicht ganz.
muss ich die Gleichungenmit mit den Gleichen Variablen verwenden. Wenn ja habe ich nur 2* 3 Gleichungen
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> Danke für dein Tip
>
> Es geht um die Affine Chiffre aus dem Gebit Kryptografie.
Hallo,
da kenne ich mich nun gar nciht aus.
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> Wir müssen die Matrix A und die inverse Matrix ermitteln..
> Mein weg find ich zu kompliziert, weil das nur eine
> Teilaufgabe einer Klausur ist, wo man max 5 Minuten zum
> lösen hat.
>
> Ich verstehe dein Vorschlag nicht ganz.
Du hast die 6 Gleichungen
>I. $ 13=3x+8y $
> $ 12=3z+8t $
>
>II. $ 24=5x+5y $
> $ 13=5z+5t $
>
> III. $ 0=8x+4y $
> $ 6=8z+4t $ .
Ich stelle nun für diese Gleichungssystem aus 6 Gleichungen in den Unbekannten x,y,z,t die erweiterte Koeffizientenmatrix auf:
[mm] \pmat{ 3&8&0&0&&| 13\\ 0&0&3&8&&| 12\\ 5&5&0&0&&| 24\\ 0&0&5&5&&| 13\\8&4&0&0&&| 0\\0&0&8&4&&| 6}
[/mm]
Diese Matrix kannst Du nun mit dem Gaußalgorithmus auf Zeilenstufenform bringen und die Lösung ablesen.
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Ich habe das eben mal rechnen lassen und das häßliche Ergebnis gefunden, daß es keine solche Matrix gibt.
Bist Du Dir sicher, daß ich die Aufgabe richtig verstanden habe?
Ich merke, daß Deutsch nicht Deine Muttersprache ist. Umso wichtiger wäre der originale Aufgabentext.
Natürlich ist es auch möglich, daß die Lösung der Aufgabe lautet: es gibt keine Lösung.
Gruß v. Angela
>
> muss ich die Gleichungenmit mit den Gleichen Variablen
> verwenden. Wenn ja habe ich nur 2* 3 Gleichungen
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Hi Angela
Kannst du mir Bitte zeigen oder Lösen
die inverse Matrix zu A
[mm] A=\pmat{ 3& 7\\ 8 & 5 } [/mm] In [mm] \IR
[/mm]
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Hallo Christopf,
> Hi Angela
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> Kannst du mir Bitte zeigen oder Lösen
>
> die inverse Matrix zu A
>
> [mm]A=\pmat{ 3& 7\\ 8 & 5 }[/mm] In [mm]\IR[/mm]
Schreibe die Einheitsmatrix neben die Matrix A, forme dann die Matrix A mit elementaren Zeilenumformungen um in die Einheitsmatrix.
Alle Umformungsschritte führe simultan an der nebenstehenden Einheitsmatrix aus.
Am Schluss steht rechterhand die Inverse
Also [mm] $\pmat{ 3& 7&\mid&1&0\\ 8 & 5 &\mid&0&1}$
[/mm]
erster Schritt: addiere das 8-fache der ersten Zeile zum (-3)-fachen der zweiten Zeile
[mm] $\pmat{ 3& 7&\mid&1&0\\ 0 & 41 &\mid&8&-3}$
[/mm]
Nun weiter ...
Alternativ kannst du dir für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen folgende Formel zunutze machen:
Mit [mm] $A=\pmat{ a& b\\ c & d}$ [/mm] ist [mm] $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{}\pmat{ d& -b\\ -c & a}$
[/mm]
Oder du rechnest es ganz zu Fuß aus. Es muss ja gelten [mm] $A\cdot{}A^{-1}=\mathbb{E}_2$
[/mm]
Also [mm] $\pmat{ 3& 7\\ 8 & 5 }\cdot{}\pmat{ u& v\\ x & y }=\pmat{ 1& 0\\ 0 & 1}$
[/mm]
Das liefert dir ein LGS mit 4 Gleichungen in den 4 Unbekannten $u,v,x,y$, also genau für die Einträge der Matrix [mm] $A^{-1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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