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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichungen
a) [mm] y'(t)=y(t)^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
b) [mm] y'(t)=-\bruch{1+t}{t}y(t), [/mm] y(1)=1 |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
a) Gesucht sind alle stetig differenzierbaren Funktionen y mit Ableitung [mm] y(t)^n. [/mm] Das sind genau die Stammfunktionen dieser Funktion
Wegen
[mm] \integral y(t)^n=\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c
[/mm]
bekommen wir als Lösung
[mm] \bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c
[/mm]
b) Analog zu a) folgt
[mm] \integral -\bruch{1+t}{t}y(y)
[/mm]
mit y(1)=1 folgt
[mm] \integral -\bruch{1+t}{t}=-t-log(t)+c
[/mm]
Ist das alles so richtig?
Lg
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichungen
>
> a) [mm]y'(t)=y(t)^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> b) [mm]y'(t)=-\bruch{1+t}{t}y(t),[/mm] y(1)=1
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gemacht:
>
> a) Gesucht sind alle stetig differenzierbaren Funktionen y
> mit Ableitung [mm]y(t)^n.[/mm] Das sind genau die Stammfunktionen
> dieser Funktion
>
> Wegen
>
> [mm]\integral y(t)^n=\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c[/mm]
>
> bekommen wir als Lösung
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}y(t)^{n+1}+c[/mm]
>
Deinen Integralen fehlt etwas entscheidendes, nämlich ein Differenzial. Dieses muss dt heißen und nicht dy, dein Fehler liegt also darin, dass du nach y integriert hast. Man kann hier aber mit Trennung der Variablen leicht weiterkommen.
>
> b) Analog zu a) folgt
>
> [mm]\integral -\bruch{1+t}{t}y(y)[/mm]
>
Was soll denn y(y) sein???
> mit y(1)=1 folgt
>
> [mm]\integral -\bruch{1+t}{t}=-t-log(t)+c[/mm]
>
> Ist das alles so richtig?
Nein: es ist komplett falsch. Trenne auch bei der zwei die Variablen sauber, integriere dann beide Seiten und löse nach y auf.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Ich habe das mit der Trennung der Variablen nicht richtig verstanden.
Wie der Name sagt, müssen wir die Variablen in f(t) und g(x) trennen, aber nach was wird getrennt?
bei a)
[mm] y'(t)=y(t)^n
[/mm]
f(t)=t
[mm] g(x)=y(1)^n
[/mm]
?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 19.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Dgl. [mm] y'=y^n [/mm] kannst Du so schreiben
y'=f(t)g(y)
mit f(t)=1 und [mm] g(y)=y^n
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Vielen dank!
Ich hoffe ich habs jetzt richtig verstanden:
> Die Dgl. [mm]y'=y^n[/mm] kannst Du so schreiben
>
> y'=f(t)g(y)
>
> mit f(t)=1 und [mm]g(y)=y^n[/mm]
>
> FRED
d.h. ich habe zwei Integrale
[mm] \integral_{s_0}^{s}{1 dt}=\integral_{x_0}^{x}{y^n dy}
[/mm]
[mm] s-s_0=\bruch{1}{1+n}x^{n+1}-\bruch{1}{1+n}x_{0}^{n+1}
[/mm]
das jetzt nach x umformen und das wars?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist falsch ! sieh dir nochmal selbst an, wie das mit der Trennung der Variablen geht!
du kannst deine Lösung immer überprüfen, indem du sie in die Dgl einsetzt.
x hat nichts mit dem gesuchten y(t) zu tun. am Ende soll da eine funktion y(t) stehen.
Gruss leduart
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