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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 29.05.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle Lösungen folgender Funktion:
[mm] 4*\left| 3x+2\ \right|=x^2-3x [/mm] |
Hi!
Irgendwie hab ich Schwierigkeiten mit der Aufgabe.
F+r [mm] x<-\bruch{2}{3} [/mm] bekomme ich im Betrag ja was anderes raus als für [mm] x<-\bruch{2}{3} [/mm] und für [mm] x=-\bruch{2}{3} [/mm] wird der Betrag Null und das Produkt wird dann auch Null. Soweit habe ich schonmal gedacht aber ich weis jetzt nicht wie ich weiter verfahren soll um die Lösungen der Funktion bestimmen zu können.
Hab ich jetzt drei Fälle? oder kann ich da zwei von den Fällen die ich "rausgesucht" habe zu einem zusammenfassen.
Ich steh da ziemlich auf dem Schlauch :(
Danke schonmal für die Hilfe und beste Grüße,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 29.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich weiß nicht genau, wie du da genau rangehen wolltest, aber hier mal, wie man es machen kann:
4|3x+2|=x²-3x
Wie du erkannt hast, wird der Betrag bei [mm] x=-\bruch{2}{3} [/mm] 0.
Deshalb musst du jetzt 2 Fälle betrachten:
x [mm] \le -\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] x>-\bruch{2}{3}, [/mm] wobei du das Gleichzeichen auch dem anderen Fall zuordnen könntest.
1. Fall (x [mm] \le -\bruch{2}{3}): [/mm] -4(3x+2)=x²-3x
2. Fall [mm] (x>-\bruch{2}{3}): [/mm] 4(3x+2)=x²-3x
Beide Gleichungen musst du nun lösen. Und immer beachten, dass für den 1. Fall nur die Lösungen auch Lösungen sind, die kleiner oder gleich [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] sind und für den 2. Fall nur die, die größer als [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] sind.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 31.05.2008 | | Autor: | tedd |
Hi!
Danke für die Antwort... Bin irgendwie noh nicht dazu gekommen mit der Aufgabe zu weiter machen.
Okay, mein Problem liegt nun darin, wie ich den Betrag für die Fälle auflöse.
Also du hast ja geschrieben:
1. Fall (x [mm] <=-\bruch{2}{3}): [/mm] -4(3x+2)=x²-3x
2. Fall [mm] (x>-\bruch{2}{3}): [/mm] 4(3x+2)=x²-3x
Aber wie komm ich denn darauf?
Also mir ist schon klar, dass wenn ich für x <= [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] habe, dass in dem Betrag der Term dann negativ ist aber irgendwie verwirrt mich, dass wenn man den Betrag letztendlich ganz auflöst doch dort dann trotzdem ein positiver Term stehen müsste?
Also mir erscheint das schon richtig wie dud as geschrieben hast aber irgendwie fehlt mir der Weg wie ich im ersten Fall zu dem
-4(3x+2)=x²-3x
bzw im zweiten Fall das Minus dann wegfällt
4(3x+2)=x²-3x komme...
naja für den 1ten Fall habe ich
[mm] -4(3x+2)=x^2-3x
[/mm]
[mm] -12x-8=x^2-3x
[/mm]
[mm] 0=x^2+9x+8
[/mm]
[mm] x_1_/_2=-\bruch{9}{2}\pm\bruch{14}{2}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{5}{2} [/mm] <- nicht definiert da x [mm] <=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{23}{2}
[/mm]
und für den 2ten Fall
[mm] x_1_/_2=\bruch{15}{2}\pm\bruch{\sqrt{257}}{2}\approx\bruch{15}{2}\pm\bruch{16}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der Betrag ist ja so definiert:
[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0} \end{cases}
[/mm]
Oder in Worten: Mit positiven Ausdrücken passiert gar nichts, und negative Ausdrücke werden positiv gemacht (in dem Minus vorgesetzt wird).
Wenn du also weißt, dass 3x+2>0 sind (für [mm] x>-\bruch{2}{3}), [/mm] dann kannst du das 3x+2 einfach so nehmen.
Und wenn du weißt, dass [mm] 3x+2\le0 [/mm] sind (für x [mm] \le -\bruch{2}{3}), [/mm] dann muss da ein - vor, damit der Ausdruck wieder positiv gemacht wird.
Deshalb kommt man auf diese Umformungen mit der Fallunterscheidung.
Der 1. Fall gilt ja, wie gesagt, nur für x [mm] \le -\bruch{2}{3}, [/mm] und dafür ist 3x+2 negativ -> mit dem Minus davor wieder positiv!
Und zu den Ergebnissen:
Für den 2. Fall ist alles korrekt, beim 1. musst du nochmal schauen! Kommen 2 ganze Zahlen raus, die beide gültig sind.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Sa 31.05.2008 | | Autor: | tedd |
Stimmt, habs heute irgendwie nicht so mit dem Kopfrechnen.
Für den ersten Fall kommt
[mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=-8 [/mm] raus.
Danke für deine Erklärung, jetzt ist mir das alles ein bisschen klarer, werde noch ein paar Übungsaufgaben rechnen und habe dann hoffentlich den dreh raus ;)
Danke vielmals und besten Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Ding :) Ist alles richtig jetzt.
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