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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Di 16.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Welche der drei Differentialgleichungen besitzt eine Lösung bzw. eine eindeutig bestimmte Lösung A mit A(0)=0?
a) y'= |y| b) y'=[mm]\wurzel{|y|}[/mm] c) y'=y² |
Guten morgen,
Bei a) weiß ich, dass die rechte Seite stetig ist und nach dem Existenzsatz von Peano also die Lösbarkeit eines expliziten AWP somit existiert.
Jetzt möchte ich zeigen, dass a) lipschitzstetig ist und das kann ich nicht.
Lipschitzstetig heißt: Ich muss eine Lipschitzkonstante L finden, so dass folgendes gilt:
|f(x)-f(y)|<= L|x-y|
Aber wie mache ich das für a) .
Kann ich einfach sagen, dass:
| |y|-|x|| <= L|y-x| ich kapier das nicht.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Denn wenn ich weiß, dass die rechte Seit von a) lipschitzstetig ist, könnte ich Picard Lindelöf anwenden und sagen, das die DGl eindeutig lösbar wäre, also genau eine Lösung für das AWP hat.
Grüße TTaylor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (a):
Es ist y' = f(x,y) mit f(x,y) = |y|.
[mm] |f(x,y_1) [/mm] - [mm] f(x,y_2)| [/mm] = | [mm] |y_1| [/mm] - [mm] |y_2| [/mm] | [mm] \le |y_1-y_2|
[/mm]
Also ist f Lip. - stetig bezgl. y mit Lip-Konstante 1 und das AWP hat genau eine Lösung.
Preisfrage: wie lautet diese Lösung ??????????????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Di 16.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
> Zu (a):
>
> Es ist y' = f(x,y) mit f(x,y) = |y|.
>
> [mm]|f(x,y_1)[/mm] - [mm]f(x,y_2)|[/mm] = | [mm]|y_1|[/mm] - [mm]|y_2|[/mm] | [mm]\le |y_1-y_2|[/mm]
>
> Also ist f Lip. - stetig bezgl. y mit Lip-Konstante 1 und
> das AWP hat genau eine Lösung.
>
> Preisfrage: wie lautet diese Lösung ??????????????
>
Die einzige Lösung des AwP ist dann die triviale Lösung y=0.
Danke Fred. Das habe ich verstanden.
Bei der b) y'=[mm]\wurzel{|y|}[/mm] gehe ich wieder gleich vor.
die rechte Seite ist stetig. Ich prüfe ob sie auch lipschitzstetig ist.
[mm][mm] |\wurzel{ |y1|}-\wurzel{|y2|}|<=L|y1-y2|\[/mm] [mm]
Ich kann hier aber keine Lipschitzsteigkeit erkennen. Also ich finde kein L für das die Gleichung gilt. Wie soll ich dann hier weiter vorgehen.
Also wenn die rechte Seite nicht lipschitzstetig ist, dann gibt es für das AWP keine eindeutig Lösung, sondern es ist nur lösbar.
Mit der Mehtode: Trennung der Variablen erhalte ich das Ergebnis:
y=+1/4(x+c)² und -1/4(x+c)²
Damit jetzt das AWP erfüllt ist A(0)=0
muss 1/4 c² =0 sein, das gilt für c=0.
Demnach wäre die DGL wieder eindeutig lösbar das widerspricht aber dem Satz von Picard Lindelöf(lipschitzstetig).
Irgendetwas ist hier falsch.
Ich weiß aber nicht was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Zu (a):
> >
> > Es ist y' = f(x,y) mit f(x,y) = |y|.
> >
> > [mm]|f(x,y_1)[/mm] - [mm]f(x,y_2)|[/mm] = | [mm]|y_1|[/mm] - [mm]|y_2|[/mm] | [mm]\le |y_1-y_2|[/mm]
>
> >
> > Also ist f Lip. - stetig bezgl. y mit Lip-Konstante 1 und
> > das AWP hat genau eine Lösung.
> >
> > Preisfrage: wie lautet diese Lösung ??????????????
> >
> Die einzige Lösung des AwP ist dann die triviale Lösung
> y=0.
O.K.
> Danke Fred. Das habe ich verstanden.
>
> Bei der b) y'=[mm]\wurzel{|y|}[/mm] gehe ich wieder gleich vor.
>
> die rechte Seite ist stetig. Ich prüfe ob sie auch
> lipschitzstetig ist.
> [mm][mm]|\wurzel{ |y1|}-\wurzel{|y2|}|<=L|y1-y2|\[/mm] [mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich kann hier aber keine Lipschitzsteigkeit erkennen. Also ich finde kein L für das die Gleichung gilt. Wie soll ich dann hier weiter vorgehen.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Also wenn die rechte Seite nicht lipschitzstetig ist, dann gibt es für das AWP keine eindeutig Lösung, sondern es ist nur lösbar.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Mit der Mehtode: Trennung der Variablen erhalte ich das Ergebnis:[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]y=+1/4(x+c)² und -1/4(x+c)²[/mm][/mm]
> [mm][mm] Damit jetzt das AWP erfüllt ist A(0)=0[/mm][/mm]
> [mm][mm] muss 1/4 c² =0 sein, das gilt für c=0.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Demnach wäre die DGL wieder eindeutig lösbar das widerspricht aber dem Satz von Picard Lindelöf(lipschitzstetig).[/mm][/mm]
> [mm][mm] Irgendetwas ist hier falsch.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich weiß aber nicht was? [/mm][/mm]
Du hast nicht alle Lösungen !!!
Z.B. ist y eine Lösung, wobei
y(x) = [mm] x^2/4 [/mm] , falls x>0,
y(x) = 0, falls -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,
y(x) = [mm] -(x+2)^2/4, [/mm] falls x<-2
Auf diese Weise kannst Du Dir unendlich viele Lösungen des AWPs zusammenbasteln.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 16.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
Super, das habe ich jetzt auch verstanden.
Bei der Aufgabe C) y'=y²
Würde ich gerne wieder zeigen, dass eindeutig lösbar ist. Dazu brauche ich ja wieder die Lipschitzstetigkeit.
|y1²-y2²|<= L |y1-y2|
Aber wie gebe ich hier dann das L an?
Das L muss genügend groß gewählt werden.
denn auf der linken Seite der Ungleichung wird ja die Distanz immer größer sein. wenn z.B. y1 =10 und y2=1, dann habe ich links 99 und rechts nur 9. Man erhält dann immer einen anderen Wert für die Konstante . Aber ich muss doch sagen die Konstante ist z.B. 100 und das gilt für alle y1 und y2.
Wie gebe ich das dann an?
Diese DGl wird auch nur eindeutig von der trivialen Lösunge gelöst. y=0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Super, das habe ich jetzt auch verstanden.
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> Bei der Aufgabe C) y'=y²
> Würde ich gerne wieder zeigen, dass eindeutig lösbar ist.
> Dazu brauche ich ja wieder die Lipschitzstetigkeit.
>
> |y1²-y2²|<= L |y1-y2|
>
> Aber wie gebe ich hier dann das L an?
> Das L muss genügend groß gewählt werden.
>
> denn auf der linken Seite der Ungleichung wird ja die
> Distanz immer größer sein. wenn z.B. y1 =10 und y2=1, dann
> habe ich links 99 und rechts nur 9. Man erhält dann immer
> einen anderen Wert für die Konstante . Aber ich muss doch
> sagen die Konstante ist z.B. 100 und das gilt für alle y1
> und y2.
> Wie gebe ich das dann an?
Sagt Dir der Begriff "lokale Lipschitzbedingung" etwas ?
FRED
>
> Diese DGl wird auch nur eindeutig von der trivialen Lösunge
> gelöst. y=0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 16.12.2008 | | Autor: | TTaylor |
> > Super, das habe ich jetzt auch verstanden.
> >
> > Bei der Aufgabe C) y'=y²
> > Würde ich gerne wieder zeigen, dass eindeutig lösbar
> ist.
> > Dazu brauche ich ja wieder die Lipschitzstetigkeit.
> >
> > |y1²-y2²|<= L |y1-y2|
> >
> > Aber wie gebe ich hier dann das L an?
> > Das L muss genügend groß gewählt werden.
> >
> > denn auf der linken Seite der Ungleichung wird ja die
> > Distanz immer größer sein. wenn z.B. y1 =10 und y2=1, dann
> > habe ich links 99 und rechts nur 9. Man erhält dann immer
> > einen anderen Wert für die Konstante . Aber ich muss doch
> > sagen die Konstante ist z.B. 100 und das gilt für alle y1
> > und y2.
> > Wie gebe ich das dann an?
>
>
> Sagt Dir der Begriff "lokale Lipschitzbedingung" etwas ?
>
> FRED
>
>
> >
> > Diese DGl wird auch nur eindeutig von der trivialen Lösunge
> > gelöst. y=0.
Ich habe jetzt unter lokal lipschitzstetig nachgeschaut. Also muss ich bei Picard Lindelöf zeigen dass die rechte Seite der DGl nur lokal lipschitzstetig ist. D.h. also für jeden Fall den ich einsetze, muss ich eine eigene spezielle Konstante finden. Ich muss also nicht eine Konstante finden, die für alle möglichen Fälle gilt. Also ist in Aufgabenteil c) das ganze wieder lipschitzstetig. Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei R > 0 und [mm] |y_1|, |y_2| \le [/mm] R
[mm] |y_1^2-y_2^2| [/mm] = [mm] |y_1+y_2||y_1-y_2| \le (|y_1|+|y_2|) |y_1-y_2| \le 2R|y_1-y_2|
[/mm]
FRED
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