Lösung v. allgem. Gl.System < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also, gegeben ein Gleichungssystem der Form
2x1 -x2 -x3 = c1
2x2 -x3 -x4 = c2
-x1 2x3 2x4= c3
-x1 -x2 2x4= c4
für welches Ci [mm] \varepsilon \IR [/mm] ist das Gl.System lösbar. Geben sie im Falle der Lösbarkeit alle Lösungen an.
Mein Ansatz ist nun, das ganze als Matrix aufzufassen und in ZNF umzuwandeln. da bekomme ich dann etwas raus wie :
x1 c1-2c3 + c4
für alle vier X-Variablen. Nun, wie hängt das aber mit der Lösung zusammen? heißt das jetzt das jedes Ci abhängt von anderen Ci und einem Element der Matrix? oder wie ist das zu interpretieren bzw. welcher Schritt muss noch gemacht werden um auf die Lösung zu kommen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 10.05.2005 | | Autor: | Dhamo |
Hallo!
Ich habe die Matrix in diesen Form gebracht:
2 -1 -1 0 c1
0 -2 -1 -1 c2
-1 0 2 -1 c3
-1 -1 0 -2 c4
[mm] \Rightarrow
[/mm]
1 1 0 -2 -c4
0 1 2 -3 c3 - c4
0 0 5 -5 c1 + 3c3 - c4
0 0 0 0 c1 + c2 + c3 +c4
[mm] \Rightarrow [/mm] c1 + c2 + c3 +c4 = 0
In diesem punkt bin ich geblieben.Ich kann nicht weiter
Vielleich kann jemand weiter machen.
Grüße alle
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> Hallo!
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> Ich habe die Matrix in diesen Form gebracht:
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> 2 -1 -1 0 c1
> 0 -2 -1 -1 c2
> -1 0 2 -1 c3
> -1 -1 0 -2 c4
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> [mm]\Rightarrow[/mm]
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> 1 1 0 -2 -c4
> 0 1 2 -3 c3 - c4
> 0 0 5 -5 c1 + 3c3 - c4
> 0 0 0 0 c1 + c2 + c3 +c4
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> [mm]\Rightarrow[/mm] c1 + c2 + c3 +c4 = 0
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> In diesem punkt bin ich geblieben.Ich kann nicht weiter
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> Vielleich kann jemand weiter machen.
>
> Grüße alle
>
Hallo
Wenn du richtig gerechnet hast dann heißt das:
Nur wenn c1,c2,c3,c4=0 ist hast du unedlich viele Lösungen
für dein Gleichungssystem.
wenn eines der Element also c1,c2,c3,c4 oder mehrer
ungleich 0 sind dann hast du einen Widerspruch.
Weil [mm] $0*x_1+0*x_2+0*x_3+0*x_4=5$ [/mm] ein Widerspruch ist.
Ich habe z.b C1=5 gewählt.
D.h dein Gleichungssytem ist nicht lösbar.
Jetzt musst du noch X1,X2,... ausdrücken für denn Fall das c1,c2,c3,c4=0
Ist laut Angabe erwünscht.
mfg Martin
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d.h also jetzt noch auf zeilennormalform bringen und dann die c1-c4 = 0 einsetzen. eigentlich ist aber doch klar das da auch x1 bisx4=0 rauskommt oder denke ich da verkehrt?
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Hallo!
Um die Frage nach der Anzahl der Lösungen zu beantworten, bildest du am besten erstmal die Determinante deiner Matrix. Da diese ungleich 0 ist, kannst du mit Hilfe des Satzes von Kern und Bild aussagen, dass es für jeden Vektor [mm] $c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$ [/mm] genau eine Lösung gibt. Diese ist gerade [mm] $A^{-1}c$ [/mm] (A ist hierbei deine Matrix aus dem Gleichungssystem).
Wenn du $c=0$ setzt, muss natürlich $x=0$ sein, weil das dann die einzig mögliche Lösung ist.
Bist du inzwischen beim Berechnen der Lösung weitergekommen oder hängst du noch fest?
Gruß, banachella
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