Lösung u'(t)=exp(u(t)),u(0)=1 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:47 Di 19.06.2007 | | Autor: | feri |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Es gibt ein T > 0 sowie eine Funktion u [mm] \in C^{1} [/mm] ([ 0 , T ]), die
u'(t) =exp(u(t)) für alle t [mm] \in [/mm] ( 0 , T ) erfüllt sowie u(0) = 1.
Tipp: Verwenden Sie den Satz von Picard-Lindelöf und ändern Sie
die rechte Seite der Differentialgleichung außerhalb eines geeigneten Intervalles
so ab, dass die Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt sind.
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Hallo ,
Vielleicht ist das eine dumme Frage:
ich weiß nicht, ob ich exp(u(t)) als eine Funktion wie f(t,y) annehmen soll und dann zeigen dass sie bzgl. y Lipschitzstetig ist, oder hier gibt es nur f(t)=exp(t) ?
Wäre sehr dankbar wenn jemand mir dabei helfeb könnte!
MfG
feri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Di 19.06.2007 | | Autor: | feri |
ich schreibe meine Überlegungen :
|exp(u(t)) - exp(v(t)) [mm] |=|exp(\gamma(t))|*|\gamma'(t)|*|u(t) [/mm] - v(t) |
= [mm] exp(\gamma(t))^2 [/mm] *|u(t) - v(t) |
wenn t=0 [mm] \Rightarrow exp(\gamma(t))^2 =e^2 [/mm]
leider weiß ich nicht mehr :(
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Di 19.06.2007 | | Autor: | feri |
ich hoffe,dass jemand mir sagen könnte, ob diese Lösung richtig ist.
Also: [mm] \left| (exp(u)-exp(v)) \right| =(exp(k))^{2} \left| u-v \right| [/mm]
= (cos(ik)-isin(ik) [mm] )^{2} \left| u-v \right| [/mm]
[mm] \le( \left| 1+i \right|)^{2} \left| u-v \right| =2\left| u-v \right| \Rightarrow [/mm] ist Lipschitzstetig [mm] \Rightarrow [/mm]
es gibt [mm] u\in C^{1} [/mm] ([0 , [mm] \infty [/mm] ]) mit u(0)=1
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \IC^1 [/mm] ist doch wohl der raum der einmal stet .diffbaren reellen Funktionen.
die funktion ist sicher für t gegen 1/e ohne Lipschitzschranke.
Du musst doch eine Norm im Funktionenraum benutzen, nicht Betrag U(t)-V(t)?
es kommt drauf an, wie ihr den Piccard Lindelöff bewiesen habt, welche Norm habt ihr benutzt? usw. sieh dir euren Beweis nochmal an! (jeder Prof macht ihn anders!)
um ne Ahnung von der Lipschitzkonst zu kriegen kannst du ja erst mal die Dgl. lösen, das ist zwar nicht was gefragt ist, gibt dir aber einen Hinweis auf L und T.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Mi 20.06.2007 | | Autor: | feri |
Hallo, Vielen Dank für die Hilfe!
Lieder habe ich keinen Beweis im Skript gefunden, und da ich an dem Tag nicht an der vorlesung teilgenommen habe, weiß ich auch nicht welche Norm da benutzt worden ist.
Aber ich habe die Dgl. gelöst:
u(t)=- [mm] ln(e^{-1}-t) [/mm] und dafür sollte dann 0 < t [mm]
Also d ann T ist auch kleiner als [mm] e^{-1} [/mm]
wenn ich mich nicht irre könnte man [mm] T:=e^{-2} [/mm] wählen
aber welche Norm ich da anwenden soll, weiß ich nicht mehr :(
schöne Grüße,
feri
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(Frage) überfällig | | Datum: | 07:52 Mi 20.06.2007 | | Autor: | feri |
Könnte man nicht ide Norm (aus Wikipedia) anwenden:
[mm] \begin{Vmatrix}
u \end{Vmatrix} [/mm] =sup [mm] e^{-2 L\left|x \right| }\*\left| u(x) \right| [/mm] hier für x zwischen 0 und [mm] T=e^{-2}
[/mm]
das gilt für x=0 wenn ich mich nicht irre :
[mm] \begin{Vmatrix}
exp(u)-exp(v)\end{Vmatrix} =\begin{Vmatrix} exp(2z) \end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}
u -v\end{Vmatrix} [/mm] < sup [mm] e^{-2 L\left|x \right| }\*\left| e^{2x} \right| \*\begin{Vmatrix}
u -v\end{Vmatrix} [/mm] < [mm] \begin{Vmatrix}
u -v\end{Vmatrix}
[/mm]
Aber was ist dann mit L , ich meine , L kann hier jede beliebige Zahl sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mi 20.06.2007 | | Autor: | feri |
hmm,
das ist doch keine Lösung!!!
ich muss zeigen ,dass T existiert, ohne die Dgl. zu lösen!
:((
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 22.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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