Lösung mit Jordanschen Normal < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Jordanschen Normalform reelle di efrenzierbare Funktionen x,y,z so dass
x´=y+2z
y´=x+y+3z
z´=-a-z
mit x(0)=1, y(0)=1, z(0)=0, wobei x´die ableitung von x bezeichnet |
Hallo,
wir haben in unser Vorlesung ein Abstecher in die Differenzialgleichungen gemacht und weis daher nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Es wäre nett, wenn mir jemand den weg aufzeigen kann wie ich zum Ziel, die Aufgabe zu lösen komme. Gerne auch an einem anderen Beispiel.
w´=A*w mit [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1}
[/mm]
Eigenwerte von A sind 0
EV: [mm] \pmat{ -1 \\ -2 \\ 1 }
[/mm]
Jordanschen Normalform von A ist [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 06.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau mal da rein:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/diffgln1-12/skript/dgl1-d-06.pdf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Meine Lösung:
[mm] x(t)=e^{t} \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] y(t)=e^{t} \vektor{t \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] z(t)=e^{t} \vektor{1 \\ t \\ t}
[/mm]
richtig ?
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Hallo SaskiaCl,
> Meine Lösung:
>
> [mm]x(t)=e^{t} \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
> [mm]y(t)=e^{t} \vektor{t \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]z(t)=e^{t} \vektor{1 \\ t \\ t}[/mm]
>
> richtig ?
Nein, das ist nicht die Lösung, da 0 ein 3facher EW der Matrix ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Hallo,
also EW ist [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Nach dem Beitrag von Fread habe ich nun wie im Beispiel 6.30 eine Matrix S gesucht mit [mm] S^{-1}AS [/mm] = J und S entspricht [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 }
[/mm]
Dann habe ich das Lösung System abgelesen.
Aber das diese nicht Richtig ist sehe ich nach deinem Hinweis auch, aber ich sehe den Fehler in meinem Vorgehen nicht.
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Hallos SaskiaCl,
> Hallo,
> also EW ist [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
> Nach dem Beitrag von
> Fread habe ich nun wie im Beispiel 6.30 eine Matrix S
> gesucht mit [mm]S^{-1}AS[/mm] = J und S entspricht [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 }[/mm]
>
> Dann habe ich das Lösung System abgelesen.
>
> Aber das diese nicht Richtig ist sehe ich nach deinem
> Hinweis auch, aber ich sehe den Fehler in meinem Vorgehen
> nicht.
>
Die Matrix S ist richtig.
Offenbar hast Du die Lösungen des
transformierten Systems nicht richtig bestimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
Fundamentalsystem:
[mm] a^{1}(t)=e^{t}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm] der vektor entspiricht dem ersten splaltenvektor von S
[mm] a^{2}(t)=e^{t}*\vektor{t \\ 1 \\ -1} [/mm]
[mm] a^{3}(t)=e^{t}*\vektor{1 \\ t \\ t } [/mm] sind die t s alle richtig oder mussen sie durch eine Null ersetzt werden
Allgemeine Lösung
[mm] x(t)=c_{1}*a^{1}(t)+c_{2}*a^{2}(t)+c_{3}*a^{1}(3)
[/mm]
[mm] c_{k} [/mm] muss ich noch mit den x(0) werten bestimmen aber ist es jetzt korrekt?
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Hallo SaskiaCl,
> Fundamentalsystem:
>
> [mm]a^{1}(t)=e^{t}*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm] der vektor
> entspiricht dem ersten splaltenvektor von S
> [mm]a^{2}(t)=e^{t}*\vektor{t \\ 1 \\ -1}[/mm]
> [mm]a^{3}(t)=e^{t}*\vektor{1 \\ t \\ t }[/mm] sind die t s alle
> richtig oder mussen sie durch eine Null ersetzt werden
>
> Allgemeine Lösung
> [mm]x(t)=c_{1}*a^{1}(t)+c_{2}*a^{2}(t)+c_{3}*a^{1}(3)[/mm]
>
Wie schon erwähnt, stimmt diese allgemeine Lösung nicht.
> [mm]c_{k}[/mm] muss ich noch mit den x(0) werten bestimmen aber ist
> es jetzt korrekt?
>
Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten Systems:
[mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
> Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten
> Systems:
>
> [mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]
[mm] s_{1}'=s_{2}
[/mm]
[mm] s_{2}'=s_{3} [/mm]
[mm] s_{3}'=0
[/mm]
Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden wie ich weiter vorgehen muss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
>
> [mm]s_{1}'=s_{2}[/mm]
> [mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]
> [mm]s_{3}'=0[/mm]
[mm] \Rightarrow s_{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow s_{2}=c [/mm]
[mm] \Rightarrow s_{1}=xc+c
[/mm]
Mit den Anfangswerten folgt
[mm] s_{2}=1
[/mm]
[mm] s_{1}=xc+1
[/mm]
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Hallo SaskiaCl,
> > Bestimme zunächst die Lösungen des transformierten
> > Systems:
> >
> > [mm]\pmat{s_{1}' \\ s_{2}' \\ s_{3}'}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}\pmat{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3}}[/mm]
>
> [mm]s_{1}'=s_{2}[/mm]
> [mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]
> [mm]s_{3}'=0[/mm]
> Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden wie
> ich weiter vorgehen muss
Aus der letzten Zeile folgt doch:
[mm]s_{3}=c_{3}, \ c_{3} \in \IR[/mm]
Dann ergibt sich die nächste zu lösende DGL:
[mm]s_{2}'=s_{3}[/mm]
Daraus bestimmst Du jetzt die Lösung der homogenen DGL
[mm]s_{2}'=0[/mm]
sowie die Lösung der inhomogenen DGL
[mm]s_{2}'=s_{3}[/mm] .
Die Gesamtlösung [mm]s_{2}[/mm] setzt sich dann zusammen
aus der Lösung der homogenen DGL
und der Lösung der inhomogenen DGL.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 06.06.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
So ich muss noch einmal Fragen also
[mm] s_{2}´=0 [/mm] folgt e^(-x)
[mm] s_{2}´=c [/mm] folgt c-(c-1)e^(-x)
aber keine die funktionen ist abgeleite 0
ich stelle mich grade wahrscheinlich ziemlich dumm an aber ich habe noch nie mit DGL gearbeitet
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Hallo SaskiaCl,
> So ich muss noch einmal Fragen also
>
> [mm]s_{2}´=0[/mm] folgt e^(-x)
> [mm]s_{2}´=c[/mm] folgt c-(c-1)e^(-x)
> aber keine die funktionen ist abgeleite 0
>
> ich stelle mich grade wahrscheinlich ziemlich dumm an aber
> ich habe noch nie mit DGL gearbeitet
Dann lese Dich da mal ein.
Welche Funktion ergibt ab geleitet 0 ?
Das ist doch wohl eine Konstante, sagen wir [mm]c_{2}[/mm]
Das ist zugleich die homogene Lösung der obigen DGL.
Für die inhomogene Lösung machst Du den Ansatz [mm]s_{2}=a*t[/mm],
da die Konstante als Störfunktion eine Lösung der homogenen DGL ist.
Gruss
MathePower
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