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| Aufgabe | Wir betrachten für A [mm] \in GL(2;\IR) [/mm] die lineare Di fferentialgleichung
y'(t) = Ay(t) ; t > 0 (1)
a) Zeigen Sie, da die einzige stationäre Lösung y(t) = 0 ist.
(b) Überzeugen Sie sich, da eine Transformation z(t) = Sy(t), S aus GL(2; [mm] \IC),
[/mm]
exisitiert, so da z (je nach Wahl von A) entweder die Di fferentialgleichung
[mm] z'(t)=\pmat{ \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} }z [/mm] (2)
oder
[mm] z'(t)=\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }z [/mm] (3)
für ein [mm] \lambda \in \IC [/mm] erfüllt.
(c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung z [mm] \in C^1([0; \infty);\IC^2) [/mm] der Di fferentialgleichung (2).
(d) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung z [mm] \in C^1([0;\infty);\IC^2) [/mm] der Di fferentialgleichung (3).
Hinweis: Fassen Sie die Di fferentialgleichung als Gleichungssystem für die
Komponenten [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] auf, und reduzieren Sie das System dann auf eine Diff erentialgleichung der Form
[mm] z_1'(t) [/mm] = [mm] z_1(t) [/mm] + [mm] Ce^{\lambda t} [/mm] für ein C [mm] \in \IC
[/mm]
Diese Di fferentialgleichung können Sie mit dem Ansatz [mm] z_1(t) [/mm] = [mm] c(t)e^{\lambda t} [/mm] lösen.
(e) Diskutieren Sie, in welchen Fällen die Lösung y(t) = 0 stabil (d.h. jede
Lösung von (1) mit einem Anfangswert, der genügend nahe bei 0 ist, bleibt
für alle Zeiten nahe bei 0) beziehungsweise asymptotisch stabil (d.h. stabil
und jede Lösung von (1) mit einem Anfangswert, der genügend nahe bei 0
ist, konvergiert für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die LV zu Differntialgleichungen noch nicht besucht, benötige allerdings Differentialgleichungen zum Modellieren. Deswegen bin ich dei dem Thema noch etwas unsicher und würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann, ob meine Lösung zu (a)-(d) korrekt sind, außerdem benötige ich Hilfe bei Teil (d):
(a) Die stationären Lösungen sind alle y für die gilt: Ay=0. Da A aus [mm] GL(2;\IR) [/mm] ist, hat die Gleichung nur die Lösung y=0.
(b) Wenn A zwei verschiedene Eigenwerte hat, ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, deren Einträge die Eigenwerte von A sind.
Also: [mm] A=SDS^{-1}
[/mm]
[mm] y'(t)=SDS^{-1}y(t)
[/mm]
[mm] S^{-1}y'(t)=DS^{-1}y(t) [/mm] mit der Substitution z(t) = [mm] S^{-1}y(t) [/mm] folgt:
z'(t)=Dz(t)
Analog, wenn A den doppelten Eigenwert [mm] \lambda [/mm] hat. Nur dass dann [mm] A=SJS^{-1}
[/mm]
J... obere Dreieicksmatrix/Jordanblock
(c) Wenn [mm] v_1 [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] ist, erfüllt [mm] v_1 [/mm] die Differentialgleichung (1):
[mm] (e^{\lambda_1 t}v_1)'=\lambda_1e^{\lambda_1 t}v_1=Ae^{\lambda_1 t}v_1
[/mm]
Wer erhalten also mit den beiden Eigenwerten 2 spezielle Lösungen und als allgemeine Lösung die Linearkombination der beiden speziellen Lösungen:
[mm] z(t)=c_1e^{\lambda_1 t}v_1+c_2e^{\lambda_2 t}v_2
[/mm]
(d)
[mm] z'(t)=\vektor{z_1'(t) \\ z_2'(t)}=\pmat{ \lambda & 1 \\ 0 & \lambda }\vektor{z_1(t) \\ z_2(t)}
[/mm]
[mm] z_1'(t)=\lambda z_1(t) [/mm] + [mm] z_2(t)
[/mm]
[mm] z_2'(t)=\lambda z_2(t)
[/mm]
=> [mm] z_2'(t)=Ce^{\lambda t}
[/mm]
[mm] =>z_1'(t)=\lambda z_1(t) [/mm] + [mm] C*e^{\lambda t} =z_1'(t)=c(t)e^{\lambda t} [/mm] + [mm] Ce^{\lambda t}
[/mm]
Wenn wir c(t)=Ct wählen erhalten wir beim Ableiten:
[mm] (Cte^{\lambda t})'=Cte^{\lambda t}+Ce^{\lambda t}
[/mm]
Die allgemeine Lösung ist also:
[mm] z(t)=\vektor{z_1(t) \\ z_2(t)}=\vektor{Cte^{\lambda t} \\ Ce^{\lambda t}}
[/mm]
(d) für diesen Aufgabebteil habe ich leider noch keine Idee, kann mir jemand erklären, wie man den löst?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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