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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösung linearen Gleichungssyst
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Lösung linearen Gleichungssyst: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Sa 06.06.2009
Autor: Myrinne

Aufgabe
"Wie muss tER gewählt werden, damit sich g1 und g2 schneiden (windschief sind)?

Dann die Geradengleichung (Vektoren), daraus entsteht folgendes Gleichungssystem:

I) 3+3r=1+2s
II)4 -6r=5+ 2st
III)2 - 3rt =4+4s

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

I) 3+3r=1+2s|⋅2
II) 4-6r=5+ 2st
III)2 - 3rt =4+4s

I) 6+6r=2+4s

I) - III) 4+6r- 3rt =-2|-4
6r- 3rt =-6

das Ganze - III) -2+6r=-10-2s|+2+2s

nannte ich dann I'') 6r+2s=-8

I) - II) 12=2s|2
s=6

in I) 3+3r=13|-3
3r=10|3

r=103

r,s in III)

2-10t=28|-2

-10t=26|:10

t=-2,6



Stimmt aber nicht. Das Ergebnis soll lauten: t = 5/2 für Schnitt, t [mm] \not=5/2;-2 [/mm] für Windschiefe.

Wäre um einen kompletten Lösungsweg dankbar, sitze jetzt seit Tagen an der Aufgabe und bin krank und die Zeit rennt. Herrje :D


Vielen Dank im Voraus,

Myrinne


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Lineares-Gleichungssystem-130

        
Bezug
Lösung linearen Gleichungssyst: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Sa 06.06.2009
Autor: MathePower

Hallo Myrinne,

> "Wie muss tER gewählt werden, damit sich g1 und g2
> schneiden (windschief sind)?
>  
> Dann die Geradengleichung (Vektoren), daraus entsteht
> folgendes Gleichungssystem:
>  
> I) 3+3r=1+2s
>  II)4 -6r=5+ 2st
>  III)2 - 3rt =4+4s

[mm]g_{1}: \overrightarrow{x}=\pmat{3 \\ 4 \\ 2}+r*\pmat{3 \\ -6 \\ -3t}[/mm]

[mm]g_{2}: \overrightarrow{x}=\pmat{1 \\ 5 \\ 4}+s*\pmat{2 \\ 2t \\ 4}[/mm]


>  Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>  
> I) 3+3r=1+2s|⋅2
>  II) 4-6r=5+ 2st
>  III)2 - 3rt =4+4s
>  
> I) 6+6r=2+4s
>  
> I) - III) 4+6r- 3rt =-2|-4
>   6r- 3rt =-6
>  
> das Ganze - III) -2+6r=-10-2s|+2+2s
>  
> nannte ich dann I'') 6r+2s=-8
>  
> I) - II) 12=2s|2
>   s=6
>  
> in I) 3+3r=13|-3
>   3r=10|3
>  
> r=103
>  
> r,s in III)
>  
> 2-10t=28|-2
>  
> -10t=26|:10
>  
> t=-2,6
>  
>
>
> Stimmt aber nicht. Das Ergebnis soll lauten: t = 5/2 für
> Schnitt, t [mm]\not=5/2;-2[/mm] für Windschiefe.
>  
> Wäre um einen kompletten Lösungsweg dankbar, sitze jetzt
> seit Tagen an der Aufgabe und bin krank und die Zeit rennt.
> Herrje :D
>  


Zunächst muß die Parallelität ausgeschlossen werden,
das heißt, die Richtungsvektoren der beiden Geraden
müssen Vielfache voneinander sein:

[mm]\pmat{3 \\ -6 \\ -3t}=\lambda*\pmat{2 \\ 2t \\ 4}[/mm]

Aus [mm]3 = \lambda*2 \Rightarrow \lambda = \bruch{3}{2}[/mm]

Damit  folgt aus

[mm]-6=¸\lambda*2t \Rightarrow t = -2[/mm]

Aus der 3.Bedingung folgt

[mm]-3*\left(-2\right)=6 = \bruch{3}{2} * 4 = 6 [/mm]


Nun, zum Gleichungssystem:

Aus (I) ergibt sich

[mm]3+3r=1+2s \Rightarrow 2s=2+3r[/mm]

Eingesetzt in (II):

[mm]4 -6r=5+ 2st \gdw 4-6r=5+\left(2+3r\right)*t[/mm]

[mm]\Rightarrow r = -\bruch{2t+1}{3t+6}[/mm]

Dies in (III) eingesetzt liefert:

[mm]2-3rt=4+2\left(2+3\right)[/mm]

[mm]\gdw -6 = 6r+3rt [/mm]

[mm]\gdw -6 = r*\left(3t+6\right)[/mm]

[mm]\gdw -6=-\left(2t+1\right)[/mm]

woraus sich [mm]t=\bruch{5}{2}[/mm] ergibt.


>
> Vielen Dank im Voraus,
>  
> Myrinne
>  
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Lineares-Gleichungssystem-130


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösung linearen Gleichungssyst: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 So 07.06.2009
Autor: Myrinne

Hallo MathePower,

vielen lieben Dank!
Leider kann ich den Weg nicht ganz nachvollziehen,
könntest du (oder jemand anders) mir vielleicht den Lösungsweg ab dem in II) eingesetzten s (4 - 6r = 5+(2+3r)*t) genauer erklären/aufschreiben?


Dankeschön im Voraus!

Bezug
                        
Bezug
Lösung linearen Gleichungssyst: Ergänzungen zur Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 So 07.06.2009
Autor: weightgainer

Ich zitiere hier Mathe-Power und ergänze nur Zwischenschritte:

Eingesetzt in (II):

>$ 4 -6r=5+ 2st [mm] \gdw 4-6r=5+\left(2+3r\right)\cdot{}t [/mm] $
<Beginn Zwischenschritte>
$ [mm] \gdw [/mm] 4 - 6r = 5 + 2t + 3t*r $ | [mm] + 6r - 5 - 2t [/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] -1 - 2t = 3t*r + 6*r $ | T
$ [mm] \gdw [/mm] -(1+2t) = (3t+6)*r $ | [mm]:(3t+6) [/mm]
<Ende Zwischenschritte>
>$ [mm] \gdw [/mm] r = [mm] -\bruch{2t+1}{3t+6} [/mm] $ (t [mm] \ne [/mm] -2, das konnte man ja schon ausschließen)

>Dies in (III) eingesetzt liefert:

$ 2-3rt=4+ 4s $
$ [mm] \gdw [/mm] 2 - 3rt = 4 + 2*(2+3r) $ (weil 2s=2+3r) - jetzt erstmal umformen
[mm] 2 - 3rt = 8 + 6r [/mm] | - 8 + 3rt
[mm] -6 = 3rt + 6r [/mm] | Ausklammern
[mm] -6 = r(3t + 6)[/mm] | jetzt den Bruch für r einsetzen
[mm] -6 = -\bruch{2t+1}{3t+6}*(3t+6)[/mm] | Nenner kürzt sich raus
[mm] -6 = -(2t+1) [/mm] | Klammer auflösen
[mm] -6 = -2t - 1 [/mm] | +1
[mm] -5 = -2t [/mm] | : (-2)
[mm] t = \bruch{5}{2}[/mm]

Fazit: Zunächst mal kannst du t = -2 ausschließen, weil die beiden Geraden dann in die gleiche Richtung verlaufen (parallel oder identisch --> genauere Prüfung zeigt: echt parallel). Wenn du die beiden Geraden gleichsetzt, bekommst du nur dann eine Lösung heraus, wenn t=2,5 ist. Für alle anderen Fälle gibt es also keine Lösung, sprich die Geraden haben keine gemeinsamen Punkte. Und da du t=-2 schon als parallel abgehakt hattest, müssen die Geraden in allen anderen Fällen windschief liegen.

Gruß,
weightgainer

Bezug
                                
Bezug
Lösung linearen Gleichungssyst: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 So 07.06.2009
Autor: Myrinne

Klasse, vielen Dank.
Nachvollziehen konnte ich es, selber auf andere Aufgaben anwenden oder vielmehr den Weg selbst sehen gestaltet sich aber noch etwas schwierig... ;)


Liebste Grüße,

Myrinne

Bezug
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