Lösung homogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Fr 12.07.2013 | | Autor: | fndrx |
| Aufgabe | Es sei :
y'' + 2*y' + 5 = 0
desweiteren ist gegeben : y(0) = 0 und y'(0) = 1
Bestimmen Sie die allg. Lösung der homogenen DGL. |
Hi,
Also ich kriege bei der Aufgabe oben einfach eine andere Lösung als mein Skript raus. Mein Ansatz ist folgender :
da [mm] p^2/4 [/mm] -q = 1-5 = -4 ist, gilt p<0
Damit kommt folgender Ansatz in frage :
[mm] y_h [/mm] = [mm] e^\alpha*x [/mm] * ( [mm] C_1 [/mm] * [mm] cos(\beta*x) [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] sin(\beta*x)
[/mm]
Bestimmung von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] :
[mm] \alpha [/mm] = - p/2 = -1 ; [mm] \beta [/mm] = [mm] sqrt(q-p^2/4) [/mm] = sqrt(4) = 2
also ist [mm] y_h [/mm] = e^-x * ( [mm] C_1 [/mm] * cos(2x) + [mm] C_2 [/mm] * sin(2x) )
Setze ich nun y(0) = 0 kriege ich ja [mm] C_1 [/mm] = 0 raus, da sin(0) = 0 ist
also im ganzen 0 = [mm] e^0 [/mm] * [mm] C_1*cos(0) [/mm] + 0
0 = 1* [mm] C_1 [/mm]
[mm] C_1 [/mm] = 0
hier höre ich schon auf weiter zu machen, da die Lösung eine ganz andere ist. Wo leigt mein fehler ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das ist alles völlig faslch (daher zitiere ich es auch nicht). Dein Fehler ist auch schnell benannt: du hast fälschlicherweise angenommen, dass es sich um eine homogene DGL handelt. Das ist aber nicht der Fall (dazu müsste an der 5 noch die Funktion y dranhängen). Betrachte also die inhomogene DGL
y''+2y'=-5
und probier es damit nochmal. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 12.07.2013 | | Autor: | fndrx |
Ah tut mir Leid, die Gleichung heisst :
y'' +2y' +5y = 0
Und damit ist Sie eben doch homogen :D
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Hallo,
auch, wenn es mühsam zu entziffern ist, ist deine allg. Lösung
[mm]y(x)=e^{-x}\cdot{}(c_1\cdot{}\cos(2x)+c_2\cdot{}\sin(2x))[/mm] richtig.
Mit [mm]y(0)=0[/mm] ergibt sich auch richtig [mm]c_1=0[/mm]
Damit bist du bei [mm]y(x)=c_2\cdot{}e^{-x}\cdot{}\sin(2x)[/mm]
Nutze nun die andere AB: [mm]y'(0)=1[/mm], um [mm]c_2[/mm] zu bestimmen.
Möglicherweise sieht die Musterösung anders aus, weil noch Additionstheoreme verwendet wurden, um die Lösung "schöner" zu schreiben ...
Aber zeig' erstmal [mm]y'(x)[/mm] her und berechne damit [mm]c_2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 12.07.2013 | | Autor: | fndrx |
Okay ich versuche es weiter, und schöner :)
$ [mm] y(x)=e^{-x}\cdot{}(c_1\cdot{}\cos(2x)+c_2\cdot{}\sin(2x)) [/mm] $
$ [mm] y'(x)=-e^{-x}*(C_1*cos(2x)+C_2*sin(2x))+e^{-x}*(-2*C_1*sin(2x)+2*C_2*cos(2x)) [/mm] $
aus $ y(0) = 0 folgt [mm] C_1=0 [/mm] $
aus $ y'(0) = 1 $ folgt :
$ 1 = [mm] -e^{0}*(C_1*cos(0)+C_2*sin(0))+e^{0}*(-2*C_1*sin(0)+2*C_2*cos(0)) [/mm] $
$ 1 = 1*( [mm] C_1 [/mm] + 0 [mm] )+1*(0+2*C_2)) [/mm] $
$ 1 = [mm] C_1 [/mm] + 2*C2 $
$ 1 = [mm] 2*C_2 [/mm] $
$ 1/2 = [mm] C_2 [/mm] $
allgemeine Lösung :
$ [mm] y(x)=e^{-x}\cdot{}(c_1\cdot{}\cos(2x)+c_2\cdot{}\sin(2x)) [/mm] $
$ y(x) = [mm] e^{-x}*(1/2*sin(2x)) [/mm] $
Hoffe ich habe da jetzt keinen Fehler reingebracht. Stimmt das soweit ?
Die Lösung im Skript lautet übrigen :
$ y(x) = [mm] e^{-x}*(7/20*sin(2x))-1/5*cos(2x)) [/mm] $
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