Lösung einer ungleichung < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:48 Fr 07.07.2006 | | Autor: | dyran |
| Aufgabe | | Welche Mengen enthalten Lösungen der Aussageform 4 [mm] x^{4}-32 x^{2}-36<0 [/mm] (G= [mm] \IR+) [/mm] |
Hi.. wie vllt alle sehen bin ich neu hier und bin schon jetzt erstaunt wie viele Themengebiete hier aufgeführt sind... nach langem googlen bin ich dann letztendlich auf diese Seite gestoßen... nun bitte ich um Verständnis das ich mir aus zeitlichen Gründen . noch nicht genau die Boardregeln mir durchgelesen habe. naja Schüler halt hehe... falls ich irgendwas falsch mache bitte drauf hinweissen..da ich auch in Zunkunt sehr gerne die Hilfe in diesem Forum nutzen würde. so jetzt mal zur meiner Frage. Also habe schon versucht die gleichung durch eine Polynomdivision in eine quadratische gleichung zu bringen... aber das klappt irgendwie nicht.. hatte auch vllt daran gedacht die Exponenten zu multiplizieren.. bin mir da aber nicht sicher ob das richtig ist... wäre für tipps sehr dankbar.. mfg
Randy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 07.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
Dein Problem ist scheinbar das [mm] x^{4}, [/mm]
Definiere doch einfach eine weitere Variable z duch x². Dann gilt:
[mm] 4x^{4}-32 x^{2}-36 [/mm] < = [mm] \gdw [/mm] 4z² -32z-36<0. [mm] \gdw [/mm] z²-8z-9<0 .
Die Nullstellen [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] hiervon kannst du mit der p-q-Formel errechnen. Jetzt musst du von [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] noch die Wurzeln ziehen, um die Nullstellen für x zu bekommen, es gilt also:
[mm] x_{1}=\wurzel{z_{1}} [/mm] , [mm] x_{2}=-\wurzel{z_{1}} [/mm] , [mm] x_{3}=\wurzel{z_{2}} [/mm] und [mm] x_{4}=-\wurzel{z_{2}}.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch herausfinden, aob der Teil zwischen den Nullstellen grösser oder kleiner Null ist, dann kannst du die Ungleichung lösen.
Falls du den Graphen (oder irgenwelche Graphen in Zunkunft) zeichnen lassen willst, schau dir mal das freie Progamm ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot an.
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 07.07.2006 | | Autor: | dyran |
hi..erst mal vielen Dank für die schnelle antwort..hmm. so stand das auch irgendwo in meinem Buch..aber ich wusste nicht das man das einfach darf... naja..auf jedenfall noch mal vielen vielen Dank ..mfg Randy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 07.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich mach mal, dass die Frage als beantwortet markiert ist.
Marius
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Hallo Rhandie!!!!!!!!!
...und einen schönen Tag!!!
Nun zu dieser dollen Unglichung![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") !
Ich skizziere nur gnz kurz den Lösungsweg, wenn das o.k. ist!
Verstehe, ich das richtig, ist [mm]G=R_{+}?[/mm]
Wenn ja, macht es die Sachte ja etwas einfacher!
So, nun aber:
[mm]4x^4-32x^2-36<0[/mm]
Erstmal müssen die Nullstellen gefunden werden, daher:
[mm]4x^4-32x^2-36=0[/mm]
Aus [mm]u:=x^2[/mm] folgt:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]4u^2-32u-36=0[/mm]
Es ergibt sich als Lösung dieser Substitutionsgleichung:
[mm] \gdw[/mm] [mm]u_{1;2}=\left \bruch{32\pm40}{8} \right[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u_{1}=-1[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]u_{2}=9[/mm]
Laut der Substitutionsfleichung [mm]u:=x^2[/mm] ist:
[mm]x=\pm\wurzel{u_{1;2}}[/mm]
...und nun sollten wir die Rücksubstitution durchführen!
Es ist erlennbar:
Vier Nullstellen könnten es sein; an [mm]\blue{u_{1}<0}[/mm] erkennt man, dass diese nicht alle nicht in der Menge der reelen Zahlen zur Verfügung stehen.
Sie sind imaginär und ergeben sich erst im algebraisch abgeschloßenden Körper der komplexen Zahlen.
Ich gebe sie trotzdem mit an!
[mm]x_{1;2}=\pm\wurzel{u_{1}}[/mm]
[mm]x_{1;2}=\pm\wurzel{-1}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_{1;2}=\pm i[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_1=-i[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_2=i[/mm]
Die beiden Nullstellen [mm]\blue x_\blue 1[/mm] und [mm]\blue x_\blue 1[/mm] sind also imagninär. In den reelen Zahlen sind sie nicht existent!
Dafür aber [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm]!
Sie exstieren auch in der Menge der reelen Zahlen und sind im kartesischen Koordinatensytem [mm]\IR[/mm] ablesbar!
Geht man ganz analog vor, so ergibt sich für diesen Fall aus der Substitotionsgleichung:
[mm]x_{3;4}=\pm\wurzel{u_{2}}[/mm]
[mm]x_{3;4}=\pm\wurzel{9}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_3=-3[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_4=3[/mm]
Da es sich um eine Parabel handeld und diese insbesondere nach oben geöffnet ist und gilt [mm]G=R_{+}[/mm], ergibt sich als Lösungsmenge der Ungleichung:
[mm]L=x\in\IR|\left\{0
So, ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen!
Mit den besten (3. Platz Grüßen -) Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 09.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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