Lösung einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 22.04.2005 | | Autor: | kaetchen |
Hallo,
Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:
xy [mm] \le x^p/p [/mm] + [mm] y^q/q [/mm] für alle x,y [mm] \le [/mm] 0
1/p + 1/q =1 und p,q >1
Gleichheit gilt, wenn y= x^(p-1)
Die Gleichheit zu zeigen ist kein Problem, durch Ersetzen von y und mit Hilfe von 1/p + 1/q =1 war das leicht zu zeigen. Das Problem ist jetzt die Ungleichungung zu beweisen. Ich habe es mit der Ableitung probiert, weil ein Hinweis war, dass man für y>0 folgende Funktion betrachten soll:
[mm] f_{y}(x):= x^p/p [/mm] + [mm] y^q/q [/mm] - xy und dann die Nullstellen berechnet (es gibt eine), aber dann zu zeigen, dass die Nullstelle der ersten Ableitung größer Null ist, war nicht möglich, weil die Funktion noch komplizierter war.
Falls jemand einen Tipp hat, welchen Ansatz ich machen könnte, wäre ich sehr dankbar!
Grüße
Kätchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Kaetchen!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Hallo,
> Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:
>
> xy [mm]\le x^p/p[/mm] + [mm]y^q/q[/mm] für alle x,y [mm]\le[/mm] 0
Ich nehme an, du meinst $x,y [mm] \ge [/mm] 0$!
(Andernfalls wäre die Ungleichung zum Beispiel für $x:=y:=-1$, $p:=3$, [mm] $q=\frac{3}{2}$ [/mm] nicht wohldefiniert, da dann gelten würde:
[mm] $y^q=(-1)^{\frac{3}{2}}=(-1)^{\frac{1}{2}}=\wurzel{-1}$)
[/mm]
> 1/p + 1/q =1 und p,q >1
>
> Gleichheit gilt, wenn y= x^(p-1)
> Die Gleichheit zu zeigen ist kein Problem, durch Ersetzen
> von y und mit Hilfe von 1/p + 1/q =1 war das leicht zu
> zeigen. Das Problem ist jetzt die Ungleichungung zu
> beweisen. Ich habe es mit der Ableitung probiert, weil ein
> Hinweis war, dass man für y>0 folgende Funktion betrachten
> soll:
> [mm]f_{y}(x):= x^p/p[/mm] + [mm]y^q/q[/mm] - xy und dann die Nullstellen
> berechnet (es gibt eine), aber dann zu zeigen, dass die
> Nullstelle der ersten Ableitung größer Null ist, war nicht
> möglich, weil die Funktion noch komplizierter war.
> Falls jemand einen Tipp hat, welchen Ansatz ich machen
> könnte, wäre ich sehr dankbar!
Naja, ich habe den Tipp jetzt nicht benutzt und auch nicht nachgerechnet, aber ich glaube dir einfach mal, dass das kompliziert wird  .
(Naja, die Ableitung hab ich gerade mal ausgrechnet, aber das ist doch keine komplizierte Funktion:
[mm] $f_y'(x)=x^{p-1}-y$)
[/mm]
Eine andere Möglichkeit, das ganze zu beweisen, findest du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Satz 7.15 auf Seite 70 (skriptinterne Zählung)
Ich persönlich mag auch einen anderen Ansatz (im Prinzip ist der obige Beweis auch darauf zurückzuführen), dafür solltest du aber schon einmal den Begriff einer konvexen Funktion gehört haben:
Für $x=0$ oder $y=0$ ist die obige Ungleichung klar. Seien also o.B.d.A. $x,y > 0$. Nun ist die Exponentialfunktion [mm] $\exp:\,\IR \to \IR_{>0}$ [/mm] konvex. Das heißt, es gilt für alle [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$, $r,s [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm]\exp(\lambda*r+(1-\lambda)*s) \le \lambda \exp(r)+(1-\lambda) \exp(s)[/mm].
So, und nun setzen wir [mm] $r:=\ln(x^p)=p*\ln(x)$ [/mm] (beachte: [mm] $x^p>0$), $s:=\ln(y^q)=q*\ln(y)$ [/mm] (beachte: [mm] $y^q [/mm] >0$) und [mm] $\lambda:=\frac{1}{p}$ [/mm] und erhalten die Behauptung (auch bekannt als "Höldersche Ungleichung").
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Kaetchen!
> Hinweis war, dass man für y>0 folgende Funktion betrachten
> soll:
> [mm]f_{y}(x):= x^p/p[/mm] + [mm]y^q/q[/mm] - xy und dann die Nullstellen
> berechnet (es gibt eine), aber dann zu zeigen, dass die
> Nullstelle der ersten Ableitung größer Null ist, war nicht
> möglich, weil die Funktion noch komplizierter war.
Naja, du kennst nun ja eine Nullstelle [mm] $x_N=y^{\frac{1}{p-1}}$ [/mm] von [mm] $f_y:\IR_{>0} \to \IR$,[/mm] [mm]f_{y}(x):= \frac{x^p}{p}+ \frac{y^q}{q} - xy[/mm] (ich betrachte sofort die Funktion mit diesem Def.-Bereich, da wir ja o.B.d.A. $x,y > 0$ annehmen können!). Wenn du nun zeigst, dass [mm] $f_y$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $(0,x_N)=\left(0,y^{\frac{1}{p-1}}\right)$ [/mm] monoton fällt und auf [mm] $(x_N,\infty)=\left(y^{\frac{1}{p-1}},\infty\right)$ [/mm] monoton wächst, so bist du fertig (wegen der Stetigkeit von [mm] $f_y$, [/mm] welche klar ist, da [mm] $f_y$ [/mm] diff'bar) (sofern ich gerade nichts übersehe ).
Liebe Grüße,
Marcel
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