Lösung einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:27 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallöchen! wollte nur mal überprüfen lassen, ob meine kleinen grauen zellen diese aufgabe auch richtig gelöst haben. leider wurde mir die aufgabe auf englisch gegeben, aber ich hoffe, ich habe sie trotzdem richtig gelöst:
Determine the minimal n_{0} \in \IN for which the inequality
| (n-1)/(n+1)-1 | \le 10^{-4} holds for all
n \ge n_{0}.
hier nun meine lösung:
zu untersuchen sind zwei fälle:
fall 1: -\infty < n \le -20001
fall 2: -20001 \le n \le 19999
fall 1: 10^{-4}\ge (n-1)/(n+1)-1 = (n-1-n-1)/(n+1) =-2/(n+1) | *(n+1)
10^{-4}*n+10^{-4} \ge -2 | -10^{-4}
10^{-4}*n \ge -20001/10000 | /10^{-4}
n\ge -20001
fall 2: 10^{-4} \le (1-n)/(n+1)+1=(1-n+n+1)/(n+1)=2/(n+1) | *(n+1)
10^{-4} *n+10^{-4} \le 2 | -10^{-4}
10^{-4} *n \le 19999/10000 | /10^{-4}
n \le 19999
fall 1 \cup fall 2 = \{x | x\in \IN\} : 0 \le x \le 19999\}
theoretisch reicht es doch aus, wenn ich fall 1 betrachte, und da n element natürl. zahlen, muss es zwischen 0 und 19999 liegen, oder?
danke für die korrektur
lg
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Hallo,
verwende doch den Formeleditor.
Der funktioniert toll, und dann kann man auch lesen, was Du meinst.
Wenn ich das alles noch in normale Zeichen übersetzen muß, ist es zumindest mir einfach zu mühsam.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 03.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Franzie,
zwischen dem Zeichen \ und den nachfolgenden Zeichen darf kein Leerzeichen sein. Dann klappt das auch mit der Ansicht.
lg
Herby
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen! wollte nur mal überprüfen lassen, ob meine kleinen grauen zellen diese aufgabe auch richtig gelöst haben. leider wurde mir die aufgabe auf englisch gegeben, aber ich hoffe, ich habe sie trotzdem richtig gelöst:
Determine the minimal [mm] n_{0} \in \IN [/mm] for which the inequality
|(n-1)/(n+1)-1| [mm] \le 10^{-4} [/mm] holds for all
[mm] n\gen_{0}. [/mm]
hier nun meine lösung:
zu untersuchen sind zwei fälle:
fall 1: [mm] -\infty [/mm] < n [mm] \le [/mm] -20001
fall 2: -20001 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] 19999
fall 1: [mm] 10^{-4}\ge [/mm] (n-1)/(n+1)-1 = (n-1-n-1)/(n+1) =-2/(n+1) | *(n+1)
[mm] 10^{-4}*n+10^{-4} \ge [/mm] -2 | [mm] -10^{-4} [/mm]
[mm] 10^{-4}*n \ge [/mm] -20001/10000 | [mm] /10^{-4} [/mm]
[mm] n\ge [/mm] -20001
fall 2: [mm] 10^{-4} \le [/mm] (1-n)/(n+1)+1=(1-n+n+1)/(n+1)=2/(n+1) | *(n+1)
[mm] 10^{-4} *n+10^{-4} \le [/mm] 2 | [mm] -10^{-4} [/mm]
[mm] 10^{-4} [/mm] *n [mm] \le [/mm] 19999/10000 | [mm] /10^{-4} [/mm]
n [mm] \le [/mm] 19999
fall 1 [mm] \cup [/mm] fall 2 = [mm] \{x | x\in \IN : 0 \le x \le 19999\} [/mm]
theoretisch reicht es doch aus, wenn ich fall 1 betrachte, und da n element natürl. zahlen, muss es zwischen 0 und 19999 liegen, oder?
danke für die korrektur
lg
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> Determine the minimal [mm]n_{0} \in \IN[/mm] for which the
> inequality
>
> |(n-1)/(n+1)-1| [mm]\le 10^{-4}[/mm] holds for all
>
> [mm]n\gen_{0}.[/mm]
Hallo,
um es einmal deutsch zu sagen:
Man soll das kleinste [mm] n_0 [/mm] bestimmen, so daß für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] die Ungleichung
|(n-1)/(n+1)-1| [mm] \le 10^{-4} [/mm] gilt.
Also soll sein
[mm] 10^{-4} \ge [/mm] |(n-1)/(n+1)-1|=| [mm] \bruch{n-1}{n+1}-1|=| \bruch{n-1}{n+1}-\bruch{n+1}{n+1}|
[/mm]
=| [mm] \bruch{-2}{n+1}|=|\bruch{2}{n+1}| [/mm]
[mm] \bruch{2}{n+1}>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IR, [/mm] also ist die Lösung von
[mm] 10^{-4} \ge \bruch{2}{n+1} [/mm] gesucht.
==> n [mm] \ge 2*10^4-1=19999
[/mm]
Das gesuchte [mm] n_0 [/mm] ist somit [mm] n_0=19999.
[/mm]
Irgendwie hast Du eher das Gegenteil von meiner Lösung erhalten, da ist mit dem Ungleichzeichen wohl etwas schiefgegangen...
|(n-1)/(n+1)-1| [mm] \le 10^{-4} [/mm] bedeutet ja [mm] -10^{-4} \le (n-1)/(n+1)-1\le 10^{-4}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> hier nun meine lösung:
>
> zu untersuchen sind zwei fälle:
> fall 1: [mm]-\infty[/mm] < n [mm]\le[/mm] -20001
> fall 2: -20001 [mm]\le[/mm] n [mm]\le[/mm] 19999
>
> fall 1: [mm]10^{-4}\ge[/mm] (n-1)/(n+1)-1 = (n-1-n-1)/(n+1)
> =-2/(n+1) | *(n+1)
> [mm]10^{-4}*n+10^{-4} \ge[/mm] -2
> | [mm]-10^{-4}[/mm]
> [mm]10^{-4}*n \ge[/mm] -20001/10000
> | [mm]/10^{-4}[/mm]
> [mm]n\ge[/mm] -20001
>
> fall 2: [mm]10^{-4} \le[/mm] (1-n)/(n+1)+1=(1-n+n+1)/(n+1)=2/(n+1)
> | *(n+1)
> [mm]10^{-4} *n+10^{-4} \le[/mm] 2
> | [mm]-10^{-4}[/mm]
> [mm]10^{-4}[/mm] *n [mm]\le[/mm] 19999/10000
> | [mm]/10^{-4}[/mm]
> n [mm]\le[/mm] 19999
>
> fall 1 [mm]\cup[/mm] fall 2 = [mm]\{x | x\in \IN : 0 \le x \le 19999\}[/mm]
> theoretisch reicht es doch aus, wenn ich fall 1 betrachte,
> und da n element natürl. zahlen, muss es zwischen 0 und
> 19999 liegen, oder?
> danke für die korrektur
> lg
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