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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 16.10.2008 | | Autor: | crysis01 |
| Aufgabe | | [mm]\sin(x+(\bruch{\pi}{2})) = 0.5[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ist eine Weile her das ich mit sowas zu tun hatte, und nun muss ich diese Gleichung lösen.
Folgendes weiß ich:
Die Lösungen sind [mm] x = \bruch{1}{3}*\pi[/mm] und [mm]x = -\bruch{1}{3}*\pi[/mm], sowie die periodischen Wiederholungen dieser beiden Lösungen.
Meine Frage ist nun: Wie finde ich diese beiden Lösungen?
1) [mm]\sin(x+(\bruch{\pi}{2})) = \cos(x)[/mm]
Mit [mm]\cos^-^1[/mm] finde ich die Lösung [mm] x = \bruch{1}{3}*\pi[/mm]
2) Mit [mm]\sin^-^1[/mm] finde ich die Lösung [mm] x = -\bruch{1}{3}*\pi[/mm]
Ist das so richtig gedacht? Oder gibt es auch die Möglichkeit nur über [mm]\cos^-^1[/mm] beide Lösungen zu finden? Oder muss ich die Lösung [mm] x = -\bruch{1}{3}*\pi[/mm] bei [mm]\cos^-^1[/mm] über die Symmetrieeigenschaft annehmen und es gibt keine eindeutiges Lösungsverfahren?
Vielen Dank!
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> [mm]\sin(x+(\bruch{\pi}{2})) = 0.5[/mm]
> Folgendes weiß ich:
>
> Die Lösungen sind [mm]x = \bruch{1}{3}*\pi[/mm] und [mm]x = -\bruch{1}{3}*\pi[/mm],
> sowie die periodischen Wiederholungen dieser beiden
> Lösungen.
>
> Meine Frage ist nun: Wie finde ich diese beiden Lösungen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Um solche Gleichungen zu lösen, ist es notwendig,die Symmetrieeigenschaften und Periodizität der trigonometrischen Funktionen zu kennen.
Wenn das der Fall ist, knnst Du Dir in diesem speziellen Fall die Beziehung
> 1) [mm]\sin(x+(\bruch{\pi}{2})) = \cos(x)[/mm]
zunutze machen und die Gleichung [mm] cos(x)=\bruch{1}{2} [/mm] lösen.
Taschenrechner, Tabelle oder (im Idealfall!) Dein Wissen liefern, daß [mm] x=\bruch{1}{3}\pi [/mm] eine Lösung ist.
Nun nutzt man die Symmetrie der Cosinusfunktion zur y-Achse und weiß, daß auch [mm] x=-\bruch{1}{3}\pi [/mm] eine Lösung ist,
und aufgrund der Periodizität hat man
[mm] x=\bruch{1}{3}\pi [/mm] + [mm] 2z\pi [/mm] und
[mm] x=-\bruch{1}{3}\pi [/mm] + [mm] 2z\pi
[/mm]
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Man hätte das auch ohne den Umweg über den Cos. lösen können:
[mm] \sin(\underbrace{x+(\bruch{\pi}{2})}_{:=y}) [/mm] = 0.5
Taschenrechner o.ä. liefert [mm] y=\bruch{1}{6}\pi.
[/mm]
Aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Sinus weiß man, daß auch [mm] y=\pi -\bruch{1}{6}\pi=\bruch{5}{6}\pi [/mm] eine Lösung ist,
aufgrund der Periodizität erhält man
[mm] y=\bruch{1}{6}\pi [/mm] + [mm] 2z\pi
[/mm]
[mm] y=\bruch{5}{6}\pi [/mm] + [mm] 2z\pi,
[/mm]
und mit [mm] y=x+(\bruch{\pi}{2}) [/mm] landet man bei den Lösungen von zuvor.
(Ich zeichne mir für sowas immer die Sinusfunktion auf.)
Gruß v. Angela
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