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Hallo, hab folgendes Problem:
Finden sie mit Hilfe der Methode der Trennung der Variablen die Lsg. der DGL
(1+x)ylny+xy'=0
Mit der Bedingung y(1)= e
Danke schonmal im Voraus und viel Spass beim lösen 
Daniel
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Hallo Daniel_pallmall,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, hab folgendes Problem:
> Finden sie mit Hilfe der Methode der Trennung der
> Variablen die Lsg. der DGL
>
> (1+x)ylny+xy'=0
>
> Mit der Bedingung y(1)= e
Wenn Du eigene Ansätze auch hier postest, ist die Wahrscheinlichkeit, dass dir jemand hilft, weitaus besser.
>
> Danke schonmal im Voraus und viel Spass beim lösen
Wir sind keine Lösungsmaschine.
Gruß
MathePower
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Also...hab mich schon mit dem problem auseinandergesetz, komme nur leider auf keine "handlich Lösung".
Ich habe also zunächst mal die TRennung der Variablen durchgeführt.
(1+x)ylny+xy'=0 [mm] \Rightarrow [/mm] dy/ylny=-(1+x)/x dx
Anschliessend hab ich integriert
[mm] \Rightarrow [/mm] ln|ln y| = -lnx -x +lnC
,wobei ich mir schon hier nicht ganz sicher bin, ob es sinnvoll ist die Integrationskonstante in ln form zu schreiben
nach anwendung von e
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] -e^x [/mm] - [mm] e^e^x [/mm] + [mm] e^C
[/mm]
das scheint mir irgendwie "eigenartig"
wenn ich jetzt mit dieser form weiterarbeite und den Anfangswert einsetze
[mm] \Rightarrow [/mm] C = e+2
Stimmt das so? oder hab ich da irgendwo nen fehler gemacht, oder nicht gut umgestellt?
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Hallo Daniel_palmall,
> Also...hab mich schon mit dem problem auseinandergesetz,
> komme nur leider auf keine "handlich Lösung".
das spielt doch keine Rolle, ob die Lösung jetzt handlich ist.
> Ich habe also zunächst mal die TRennung der Variablen
> durchgeführt.
>
> (1+x)ylny+xy'=0 [mm]\Rightarrow[/mm] dy/ylny=-(1+x)/x dx
>
> Anschliessend hab ich integriert
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln|ln y| = -lnx -x +lnC
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ,wobei ich mir schon hier nicht ganz sicher bin, ob es
> sinnvoll ist die Integrationskonstante in ln form zu
> schreiben
In der Regel schreibt man für die Integrationskonstante ein einfaches C und schleppt die dann beim Umformungsprozeß mit und benennt sie ggf. um.
>
> nach anwendung von e
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]-e^x[/mm] - [mm]e^e^x[/mm] + [mm]e^C[/mm]
>
> das scheint mir irgendwie "eigenartig"
>
> wenn ich jetzt mit dieser form weiterarbeite und den
> Anfangswert einsetze
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] C = e+2
>
> Stimmt das so? oder hab ich da irgendwo nen fehler gemacht,
> oder nicht gut umgestellt?
Ich hab eine andere Lösung heraus.
Schau Dir bitte noch einmal die Logarithmen- und Potenzgesetze nochmal an.
Gruß
MathePower
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Auffällig ist, dass nach Trennung der Variablen auf beiden Seiten die Variable selber noch im Nenner steht. Dies legt eine Substitution nahe, wobei man dann merkt, das diese für x gar nicht nötig ist:
Setze t = ln y, leite dies ab und wirf y und dy aus der Gleichung heraus.
Zerlege (1+x)/x in zwei Brüche und integriere nun die linke und rechte Seite der Gleichung. Führe später die Rücksubstitution durch.
Zur Kontrolle: y = [mm] e^{\bruch{1}{x*e^{x}}}.
[/mm]
Zur Übung solltest du das noch mal in die Ausgangsdgl. einsetzen!
Gruß
Kw
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