Lösung des Integrals < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Marc222 |
| Aufgabe | | Berechne das Integral [mm] \integral \bruch {1}{x^6+2x^4} [/mm] |
Mir ist der Lösungsansatz gerade noch unklar, kann ich das integral auflösen zu ln [mm] |x^6 [/mm] + [mm] 2x^4 [/mm] | ?
Falls ja, muss ich dann eine fallunterscheidung machen für den fall [mm] +(x^6+2x^4) [/mm] und [mm] -(x^6+2x^4) [/mm] ?
Falls hilfe kommt, schonmal danke 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechne das Integral [mm]\integral \bruch {1}{x^6+2x^4}[/mm]
> Mir
> ist der Lösungsansatz gerade noch unklar,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hier wirst Du mit Partialbrauchzerlegung weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Marc222 |
Ok also muss ich erst die NUllstellen meines Nenners ermitteln,
[mm] x^6+2x^4 [/mm] zu [mm] x^4(x^2+2) [/mm] somit wäre [mm] x^4 [/mm] eine 4fache nullstelle,
wie gehts mit den geklammerten [mm] (x^2+2) [/mm] weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok also muss ich erst die NUllstellen meines Nenners
> ermitteln,
> [mm]x^6+2x^4[/mm] zu [mm]x^4(x^2+2)[/mm] somit wäre [mm]x^4[/mm] eine 4fache
> nullstelle,
> wie gehts mit den geklammerten [mm](x^2+2)[/mm] weiter
[mm](x^2+2)[/mm] hat keine relle Nullstelle !
Wie lautet nun Dein Ansatz für die PBZ ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Marc222 |
mein ansatz bis jetzt ist [mm] \bruch{a}{x} [/mm] + [mm] \bruch {b}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch {c}{x^3}+ \bruch {d}{x^4} +\bruch{e}{x+i} [/mm] + [mm] \bruch{d}{x-i}
[/mm]
wobei ich mir ziemlich sicher bin das der imaginärteil falsch ist ?! ich aber nicht weis was für [mm] X^2+2 [/mm] einsetzen, der imaginärteil sollte ja dem angepasst sein, somit wie muss ich mein imaginärteil gestallten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 20.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> mein ansatz bis jetzt ist [mm]\bruch{a}{x}[/mm] + [mm]\bruch {b}{x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch {c}{x^3}+ \bruch {d}{x^4} +\bruch{e}{x+i}[/mm] +
> [mm]\bruch{d}{x-i}[/mm]
>
> wobei ich mir ziemlich sicher bin das der imaginärteil
> falsch ist ?!
Da hast Du recht. Die komplexe PBZ lautet:
[mm] \bruch{a}{x} + \bruch {b}{x^2} +\bruch {c}{x^3}+ \bruch {d}{x^4} +\bruch{e}{x+i*\wurzel{2}}[/mm] + [mm]\bruch{f}{x-i*\wurzel{2}}[/mm]
> ich aber nicht weis was für [mm]X^2+2[/mm]
> einsetzen,
Die reelle PBZ lautet:
[mm] \bruch{a}{x}+ \bruch {b}{x^2} +\bruch {c}{x^3}+ \bruch {d}{x^4} +\bruch{ex+f}{x^2+2}[/mm]
FRED
> der imaginärteil sollte ja dem angepasst sein,
> somit wie muss ich mein imaginärteil gestallten ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Marc222 |
Danke, das konnte ich jetzt nachvollziehen. FÜr die Suche nach dem Hauptnenner bin ich wie folgt vorgegangen
[mm] \bruch{A*x^2*x^3*x^4*(x^2+2) + B*x*x^3*x^4*(x^2+2)+C*x*x^2*x^4*(x^2+2)+D*(x*x^2*x^3*(x^2+2) + ((Ex+F)*x*x^2*x^3*x^4) } {x*x^2*x^3*x^4*(x^2+2)}
[/mm]
Was dann nach etwas zusammenfassung
[mm] \bruch{(A+B+C+D)*(x^2+2) + x^6(Ax^3+Bx^2+Cx^2+Dx + Fx^4+E*x*x^4)}{x^10*(x^2+2)}
[/mm]
ergab, ist das vorgehen soweit korrekt ? oder finde ich anders den HN ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 20.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist irgendwie verwirrend
Du hast:
$ [mm] \bruch{a}{x}+ \bruch {b}{x^2}+\bruch{c}{x^3}+\bruch{d}{x^4} +\bruch{ex+f}{x^2+2} [/mm] $
Der Hauptnenner ist, das ist ja gerade so konstruiert: [mm] x^{4}(x^{2}+2)
[/mm]
Also.
[mm] \bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x^2}+\bruch{c}{x^3}+\bruch{d}{x^4}+\bruch{ex+f}{x^2+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{ax^{3}(x^{2}+2)}{xx^{3}(x^{2}+2)}+\bruch{bx^{2}(x^{2}+2)}{x^2x^{2}(x^{2}+2)}+\bruch{cx^{1}(x^{2}+2)}{x^3x^{1}(x^{2}+2)}+ \bruch{d(x^{2}+2)}{x^4(x^{2}+2)}+\bruch{(ex+f)x^{4}}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{ax^{3}(x^{2}+2)+bx^{2}(x^{2}+2)+cx^{1}(x^{2}+2)+d(x^{2}+2)+(ex+f)x^{4}}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{a(x^{5}+2x^{3})+b(x^{4}+2x^{2})+c(x^{3}+2x)+d(x^{2}+2)+ex^{5}+fx^{4}}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{ax^{5}+2ax^{3}+bx^{4}+2bx^{2}+cx^{3}+2cx+dx^{2}+2d+ex^{5}+fx^{4}}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{ax^{5}ex^{5}+bx^{4}+fx^{4}+2ax^{3}+cx^{3}+2bx^{2}+dx^{2}+2cx+2d}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a+e)x^{5}+(b+f)x^{4}+(2a+c)x^{3}+(2b+d)x^{2}+2cx+2d}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
Und das vergleiche nun mit:
[mm] \bruch{1}{x^{6}+2x^{4}}=\bruch{\red{0}x^{5}+\red{0}x^{4}+\red{0}x^{3}+\red{0}x^{2}+\red{0}x+\red{1}}{x^{4}(x^{2}+2)}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Marc222 |
also ergibt sich dann damit
a+e=0 b+f=0 2a+c=0 2b+d=0 2c=0 2d=1
ausgerechnet a=0 [mm] b=\bruch{-1}{4} [/mm] c=0 d= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] e=0 f= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
die null sachen fallen weg und übrig bleibt dann eingesetzt
[mm] \integral\bruch{1}{-4x^2} [/mm] + [mm] \integral\bruch{1}{2x^4} [/mm] + [mm] \integral\bruch{1}{4x^2+4}
[/mm]
welches ich dann noch hoch leiten muss ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 20.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ergibt sich dann damit
>
> a+e=0 b+f=0 2a+c=0 2b+d=0 2c=0 2d=1
>
> ausgerechnet a=0 [mm]b=\bruch{-1}{4}[/mm] c=0 d= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] e=0
> f= [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> die null sachen fallen weg und übrig bleibt dann
> eingesetzt
>
> [mm]\integral\bruch{1}{-4x^2}[/mm] + [mm]\integral\bruch{1}{2x^4}[/mm] +
> [mm]\integral\bruch{1}{4x^2+4}[/mm]
Fast:
[mm]\integral\bruch{1}{-4x^2} + \integral\bruch{1}{2x^4} + \integral\bruch{1}{4x^2+\red{8}}[/mm]
>
> welches ich dann noch hoch leiten muss ?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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