Lösung des Gleichungssystems < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Ricc |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine allgemeine Formel zur Berechnung der Einzelwiderstände eines Vierpols aus den gemessenen Klemmwiderständen [mm] R_{a-b}, R_{c-d}, R_{a-c}, R_{b-d}, R_{c-b}, R_{a-d}. [/mm] Die Messungen lassen sich in folgendem Gleichungssystem zusammenfassen:
[mm] R_{a-b}=R_{x1}+R_{x2}
[/mm]
[mm] R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}
[/mm]
[mm] R_{a-c}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x4}
[/mm]
[mm] R_{b-d}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x5}
[/mm]
[mm] R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}
[/mm]
[mm] R_{a-d}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x5}
[/mm]
Es soll also eine allgemeine Formel zu Berechnung der Widerstände [mm] R_{x1} [/mm] - [mm] R_{x5} [/mm] bestimmt werden. |
Hallo!
Es handelt sich zwar eigentlich um eine Frage aus der Etechnik, jedoch um eine mathematische Fragestellung.
Allerdings fehlt mir hier der Lösungsansatz, denn wie groß z.B. der Klemmwiderstand [mm] R_{a-d} [/mm] ist, ergibt sich ja aus der Gleichung, soabld man die entsprechenden Werte hat. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so recht, bzw. wie ich vorgehen soll.
Grüße und danke
Riccardo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Fr 07.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
> [mm]R_{a-b}=R_{x1}+R_{x2}[/mm]
> [mm]R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}[/mm]
> [mm]R_{a-c}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x4}[/mm]
> [mm]R_{b-d}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x5}[/mm]
> [mm]R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}[/mm]
> [mm]R_{a-d}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x5}[/mm]
Du kannst es systematisch angehen, wobei da eine Falle ist. Es sind 6 Gleichungen, aber nur 5 Unbekannte. Das löst sich schnell, da eine Gleichung zweimal da steht.
Es ist ein lineares Gleichungssystem, in dem alle Vorfaktoren den Wert 1 haben.
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] R_{ab}$ [/mm]
[mm] $x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = [mm] R_{cd}$
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = [mm] R_{ac}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = [mm] R_{bd}$
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = [mm] R_{ac}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Ricc |
Hallo und danke für die Antwort!
Das die eine Gleichung doppelt stand war ein Fehler von mir,sorry! Korrekt müsste es heißen:
[mm] R_{a-b}=R_{x1}+R_{x2} [/mm]
[mm] R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}
[/mm]
[mm] R_{a-c}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x4} [/mm]
[mm] R_{b-d}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x5}
[/mm]
[mm] R_{c-b}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x4} [/mm]
[mm] R_{a-d}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x5} [/mm]
Also doch 6 Gleichungen mit 5 unbekannten.
Zunächst habe ich daran gedacht solange gleichzusetzen/unzuformen, bis ich eine Variable isoliert habe und diese dann entsprechend wieder in die nächste Gleichung einsetze usw., wie beim Gauss Algorithmus.
Ist da ein richtiger Anssatz?
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Hallo Ricc,
> Hallo und danke für die Antwort!
> Das die eine Gleichung doppelt stand war ein Fehler von
> mir,sorry! Korrekt müsste es heißen:
>
> [mm]R_{a-b}=R_{x1}+R_{x2}[/mm]
> [mm]R_{c-d}=R_{x4}+R_{x5}[/mm]
> [mm]R_{a-c}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x4}[/mm]
> [mm]R_{b-d}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x5}[/mm]
> [mm]R_{c-b}=R_{x2}+R_{x3}+R_{x4}[/mm]
> [mm]R_{a-d}=R_{x1}+R_{x3}+R_{x5}[/mm]
>
> Also doch 6 Gleichungen mit 5 unbekannten.
> Zunächst habe ich daran gedacht solange
> gleichzusetzen/unzuformen, bis ich eine Variable isoliert
> habe und diese dann entsprechend wieder in die nächste
> Gleichung einsetze usw., wie beim Gauss Algorithmus.
> Ist da ein richtiger Anssatz?
Ja, das geht gut mit dem Gauß-Algorithmus. Allerdings brauchst Du nicht soweit zu rechnen, bis alle Variablen isoliert sind, sondern nur bis zur Zeilenstufenform, also erst einmal nur, bis irgendeine einzelne Variable zu bestimmen ist. Die dann einsetzen und dann weiter Gauß, bis eine weitere Variable isoliert ist etc.
Die Variablenbezeichnungen sind hier die größte Falle. Wer da nicht durcheinanderkommt, hat ein hohes Maß an Konzentrationsfähigkeit. 
Am Ende wirst Du eine Gleichung übrig behalten. Überprüfe auf jeden Fall, ob die auch erfüllt ist (das wird aber so sein).
Grüße
reverend
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