Lösung der gew. DGl 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | Xabbu83 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich bin recht neu auf dem Gebiet der Differentialgleichungen.
Für eine Arbeit muss ich nun folgendes Lösen:
[mm]\bruch{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} - k x f(x, y)=0[/mm]
k ist eine Konstante, f(x, y) eine Funktion von [mm] \IR^2->\IR. [/mm]
Ich habe sogar auch eine Lösung dazu (gefunden):
[mm] f(x, y)=A(x)e^{-y \wurzel{k x}} + B(x)e^{y \wurzel{k x}}[/mm]
Die Lösung ist auch ganz toll, aber...
1.) Wie kommt man da drauf?
2.) Unter welchen Stichpunkten muss man suchen, wenn man sich damit beschäftigen will/muss? ist "Implizite, gewöhnliche partielle DGl 2. Ordnung" richtig, oder ist sie nicht partiell, da es ja nur eine Ableitung nach y gibt?
3.) Literaturemfehlung für Menschen die auf dem Gebiet nicht grade erleuchtet sind. (Ich war in Ana3 eher körperlich anwesend...)
Herzlichen Dank schonmal fürs Lesen, ich bin für jede Anregung dankbar.
Xabbu
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Hallo Xabbu83,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo.
> Ich bin recht neu auf dem Gebiet der
> Differentialgleichungen.
> Für eine Arbeit muss ich nun folgendes Lösen:
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} - k x f(x, y)=0[/mm]
>
> k ist eine Konstante, f(x, y) eine Funktion von [mm]\IR^2->\IR.[/mm]
>
> Ich habe sogar auch eine Lösung dazu (gefunden):
> [mm]f(x, y)=A(x)e^{-y \wurzel{k x}} + B(x)e^{y \wurzel{k x}}[/mm]
Das stimmt ja nur, wenn [mm]k*x > 0[/mm].
>
> Die Lösung ist auch ganz toll, aber...
>
> 1.) Wie kommt man da drauf?
Da hier nur Ableitungen von y vorkommen, ist das eine Lineare homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (kx wird hier als konstant angesehen).
Daher macht man den Ansatz [mm] f\left(x,y\right)=C(x)*e^{r*y}[/mm]
[/mm]
[mm]f\left(x,y\right)=C\left(x\right)*e^{ry}[/mm]
[mm]f_{yy}\left(x,y\right)=C\left(x\right)*r^2*e^{ry}[/mm]
Dies führt zu folgender Gleichung:
[mm]r^2*C\left(x\right)*e^{ry}-k*x*C\left(x\right)e^{ry}=0[/mm]
[mm]\gdw C\left(x\right)*e^{ry}*\left(r^{2}-k*x\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow r^{2}=k*x[/mm]
Hier ist eine Fallunterscheidung hinsichtlich [mm]k*x[/mm] zu machen:
i) [mm]k*x>0[/mm]
ii) [mm]k*x=0[/mm]
iii) [mm]k*x<0[/mm]
>
> 2.) Unter welchen Stichpunkten muss man suchen, wenn man
> sich damit beschäftigen will/muss? ist "Implizite,
> gewöhnliche partielle DGl 2. Ordnung" richtig, oder ist sie
> nicht partiell, da es ja nur eine Ableitung nach y gibt?
Es kommt ja nur die zweite partielle Ableitung nach y vor. In sofern kann man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung sprechen.
>
> 3.) Literaturemfehlung für Menschen die auf dem Gebiet
> nicht grade erleuchtet sind. (Ich war in Ana3 eher
> körperlich anwesend...)
Dieser Link sollte Dich weiterbringen: ![[]](/images/popup.gif) Diffentialgleichungen
>
> Herzlichen Dank schonmal fürs Lesen, ich bin für jede
> Anregung dankbar.
> Xabbu
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Di 08.04.2008 | | Autor: | Xabbu83 |
Danke für die Hilfe.
Wikipedia hatte ich zwar auch schon gefunden, aber ich hab da mein Problem nicht wiedergefunden. Es hatte mich total irritiert, dass wir zwei Variablen in der Funktion haben. Dass man eine davon sozusagen als Parameter betrachten kann, kam mir garnicht in den Sinn.
Herzlichen Dank
Xabbu
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