Lösung der Wurzelgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Verwenden Sie die Gleichung [mm] \wurzel{4-b^2}+ \wurzel{9-b^2} [/mm] und führen Sie die Substitution [mm] x=4-b^2 [/mm] durch. Eliminieren Sie die Wurzeln durch Quadrieren. |
Kann mir jemand bei diesem Problem helfen? Als Ergebnis soll [mm] x^4+6x^3-4x^2-50x+25 [/mm] herauskommen. Weiß jemand, wie hier die Vorgehensweise ist?
Gruß Mario
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mario!
Damit wir hier von Gleichung reden können, fehlt hier aber noch ein [mm] $\red{= \ ???}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Also die Gleichung die herauskommen soll lautet:
[mm] x^4+6x^3-4x^2-50x+25=0
[/mm]
Die zu substituierende Gleichung hat laut Aufgabenstellung kein "=". Das hat mich ja selber auch verwundert. Wie die Substitution zu vollziehen ist, weiß ich bereits, aber das Eliminieren der Wurzeln gestaltet sich als sehr kompliziert. Ich komme nie auf die von mir geforderte Gleichung. Habe schon divere Matheprogramme (z.B. Derive) benutzt, um die Lösung schneller herauszufinden. Aber selbst da kam ich nicht auf diese besagte Gleichung.
Gruß Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mario
> Verwenden Sie die Gleichung [mm]\wurzel{4-b^2}+ \wurzel{9-b^2}[/mm]
> und führen Sie die Substitution [mm]x=4-b^2[/mm] durch. Eliminieren
> Sie die Wurzeln durch Quadrieren.
Das kann unmöglich die ganze gestellte Aufgabe sein! denn "verwenden" braucht einen Verwendungszweck also wozu. Es scheint, du hast uns ne halbe Aufgabe geschickt, denn aus nem Ausdruck kann man garantiert keine Gleichung herstellen
Gruss leduart
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Also es es könnte sein, dass die Gleichung so lautet:
[mm] \wurzel{4-b^2}* \wurzel{9-b^2}= \wurzel{4-b^2}+ \wurzel{9-b^2}
[/mm]
Ist bei der Aufgabe ein bisschen blöd geschrieben. Was anderes steht da aber nicht mehr da. Das wäre noch die einzigste Möglichkeit.
Bin schon soweit:
[mm] \wurzel{4-b^2}* \wurzel{9-b^2}= \wurzel{4-b^2}+ \wurzel{9-b^2}
[/mm]
vereinfacht zu:
[mm] \wurzel{4-b^2}* \wurzel{5+(4-b^2)}= \wurzel{4-b^2}+ \wurzel{5+(4-b^2)}
[/mm]
und dann substituiert zu:
[mm] \wurzel{x}* \wurzel{5+x}= \wurzel{x}+ \wurzel{5-x}
[/mm]
Die Frage ist, wie ich nun die Wurzeln so eliminieren kann, dass die besagte Gleichung: [mm] x^4+6x^3-4x^2-50x+25 [/mm] =0
herauskommt.
Gruß Mario
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Hallo Mario!
> [mm]\wurzel{x}* \wurzel{5+x}= \wurzel{x}+ \wurzel{5-x}[/mm]
Nun quadriere diese Gleichung (das musst Du eventuell noch ein 2. Mal tun). Allerdings musst Du am Ende mit den gefundenen Lösungen auch noch die Probe machen, da "Quadrieren" keine Äquivalenzumformung ist.
Gruß vom
Roadrunner
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Wenn ich quadriere, muss ich dies ja auf beiden Seiten machen, richtig?
Habe das Programm "Derive", mit dem sich solche Probleme eigentlich lösen lassen sollten. Wenn ich jetzt allerdings quadriere, erhalte ich das folgende Ergebnis:
[mm] x^2 [/mm] + 5x = [mm] 2*\wurzel{x}*\wurzel{(x+5)}+2x+5
[/mm]
Auch wenn ich ein weiteres Mal quadriere, verschwinden die Wurzeln auf der rechten Seite der Gleichung nicht. Stattdessen erhalte ich die Gleichung:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 10*x^3 [/mm] + [mm] 25*x^2 [/mm] = [mm] 8*x^{3/2} *\wurzel{(x + 5)} [/mm] + [mm] 20*\wurzel{x}*\wurzel{(x + 5)} [/mm] + [mm] 8*x^2 [/mm] + 40x + 25
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Hallo Mario!
> [mm]x^2[/mm] + 5x = [mm]2*\wurzel{x}*\wurzel{(x+5)}+2x+5[/mm]
Was steht denn nun auf der rechten Seite unter der Wurzel ... [mm] $5\red{-}x$ [/mm] oder [mm] $5\red{+}x$ [/mm] ?
Vor dem 2. Durchgang des Quadrierens musst Du zunächst umstellen zu:
[mm] $2*\wurzel{x}*\wurzel{5\red{\pm}x} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank, habe jetzt die gesuchte Gleichung. War schon fast verzweifelt.
Wie kann man jetzt nachweisen, das die Funktion [mm] f(x)=x^4+6x^3-5x^2-50x+25 [/mm] keine ganzzahligen Lösungen haben kann. Habe versucht Nullstellen zu finden, aber ich glaube das diese Vorgehensweise nicht stimmen kann, richtig?
Gruß Mario
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Hallo Mario,
> Vielen Dank, habe jetzt die gesuchte Gleichung. War schon
> fast verzweifelt.
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> Wie kann man jetzt nachweisen, das die Funktion
> [mm]f(x)=x^4+6x^3-5x^2-50x+25[/mm] keine ganzzahligen Lösungen haben
> kann.
Eine Funktion hat sicher keine "Lösungen", du meinst vermutlich "Nullstellen"...
> Habe versucht Nullstellen zu finden, aber ich glaube
> das diese Vorgehensweise nicht stimmen kann, richtig?
Naja, wenn du zeigen sollst, dass es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, dann hat es vermutlich wenig Sinn, nach ihnen zu suchen.
Eine Möglichkeit besteht zum Beispiel in einem Satz aus der Algebra, der sinngemäß folgendes besagt:
Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung [mm]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0=0[/mm] sind genau dann Teiler von [mm] a_0, [/mm] wenn [mm] a_n=1 [/mm] und alle übrigen [mm] a_i [/mm] teilerfremd sind.
Diese beiden Bedingungen sind in deinem Funktionsterm erfüllt (der Koeffizient von [mm] x^4 [/mm] ist 1 und alle Koeffizienten sind teilerfremd), daher müssen die möglichen ganzzahligen Nullstellen aus der Menge {-1;1;-5;5;-25;25} sein. Die kannst du ja mal durchtesten...
Viele Spaß dabei... 
zerbinetta
(Übrigens: die Nullstellen der Funktion sind ungefähr 0,49 und 2,48)
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