Lösung der Laplace-Gleichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:23 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Determine and discuss the most general solution of the Laplace equation [mm] \Delta\Psi(\vec{r})=0 [/mm] [where [mm] \vec{r}=(x,y,z) [/mm] and [mm] \Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} [/mm] ] with the additional constraint
(a) [mm] \Psi(\vec{r})=\Psi(r) [/mm] , [mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
(b) [mm] \Psi(\vec{r})=\Psi(\rho) [/mm] , [mm] \rho=\sqrt{x^2+y^2}
[/mm]
(c) [mm] \Psi(\vec{r})=\Psi(x).
[/mm]
Wrirte down the corresponding solutions that are regular in x=0 and that (if possible) vanishes in the limit [mm] x\to\infty [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne schreiben, was mein Ansatz ist, damit man mir weiterhelfen kann.
Jedoch habe ich hier absolut keinen Ansatz, da sich mein Vorlesungsstoff bis jetzt eigentlich nur auf die Herleitung der Maxwellgleichung beschränkt hat.
D.h. ich weiß jetzt durch lesen der Aufgabe, was die Laplace-Gleichung ist, jedoch ist mir das Lösen der Aufgabe völlig unklar.
Kann mir hier jemand helfen?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 02.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch erstmal den Laplace fuer die 3 Faelle hin.
vielleicht findest du dann schon mal im einen oder anderen Fall ne Loesung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Di 03.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Leduart,
genau das ist schon das Problem, ich weiß nicht, wie ich "den Laplace hinschreiben" soll.
Fangen wir mal bei a) an:
[mm] \Delta\Psi(r)=(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\Psi(r)=0
[/mm]
und jetzt, ich weiß ja sonst nichts mehr über [mm] \Psi [/mm] (gut, außer dass [mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm] it, aber wie ich das einbauen kann ist mir auch unklar.)
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 03.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
versuchs doch mal mit dem Laplace in Kugelkoordinaten. Das sollte dir dann besser helfen, weil man dann die Abhängigkeit von $r$ [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\vartheta$ [/mm] besser sehen kann und dadurch auch direkt die Ableitungen bzgl [mm] $\vartheta$ [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] raushauen kann.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst nur die Kettenregel:
[mm] \bruch{\partial \Psi(r(x,y,z))}{\partial x}=\bruch{\partial \Psi(r)}{\partial r}*\bruch{\partial r}{\partial x}
[/mm]
[mm] \bruch{d\Psi}{dr} [/mm] bleibt dabei natuerlich stehen. dafuer kriegst du dann negewoehnliche Dgl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 03.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ok, da wir hier die zweite Ableitung im Laplace-Op. haben, nehme ich an, ich brauche noch die Produktregel:
[mm] \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial \Psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x})=\frac{\partial r}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial r})+\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}\frac{\partial \Psi}{\partial r}
[/mm]
also für a)
[mm] \Delta\Psi=\frac{\partial r}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial r})+\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}\frac{\partial \Psi}{\partial r}+\frac{\partial r}{\partial y}(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \Psi}{\partial r})+\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\frac{\partial \Psi}{\partial r}+\frac{\partial r}{\partial z}(\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \Psi}{\partial r})+\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}\frac{\partial \Psi}{\partial r}
[/mm]
Wobei
[mm] \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial^2 r}{\partial x^2}=\frac{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}=\frac{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial^2 r}{\partial z^2}=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
[/mm]
Und hier bin ich jetzt wieder an einem Punkt, an welchem ich nicht mehr weiter weiß.
(Ganz zu schweigen davon, dass mir die Aufgabe immer noch nicht klar ist. Am Anfang heißt es: "Determine and discuss the most general Solution..." und am Ende: "Write diwn the corresponding solution that are regular in x=0 and that canishes in the limit x -> [mm] \infty")
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst dus nicht bis zu Ende auf, d.h. alles durchfuehren und aufaddieren. dann wieder dran denken dass [mm] x^2+y^2+r^2=r^2 [/mm] ist.
dann schreib [mm] d\Psi/dr=\Psi' [/mm] usw und dann kannst dus vielleicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 03.03.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
aber was fange ich mit Ausdrücken wie
[mm] \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \Psi}{\partial r}
[/mm]
an?
(Entschuldige, wenn ich mich hier doof anstelle, ich stehe aber wirklich auf dem Schlauc)
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Di 03.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!> Hallo,
>
> aber was fange ich mit Ausdrücken wie
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \Psi}{\partial r}[/mm]
>
> an?
Wende die Kettenregel konsequent an! Wenn [mm] $\Psi$ [/mm] nur von r abhängt, so auch alle Ableitungen von [mm] $\Psi$ [/mm] nach r:
[mm] \frac{\partial}{\partial y}\frac{d \Psi(r)}{d r} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{d^2 \Psi(r)}{d r^2} = \frac{y}{r} \Psi''(r) [/mm]
und so weiter.
Nur so als Tipp zum leichter Rechnen: r nach x,y,z abzuleiten ist mühsam, hingegen ist die Ableitung von [mm] $r^2$ [/mm] einfach:
[mm] \frac{\partial}{\partial y} r^2 = 2y [/mm]
Andererseits ist nach der Kettenregel
[mm] \frac{\partial}{\partial y} r^2 = 2 r \frac{\partial r }{\partial y}[/mm]
und sofort hast du
[mm] \frac{\partial r }{\partial y} = \frac{y}{r} [/mm],
ohne dich mit der Ableitung irgendwelcher Wurzeln herumschlagen zu müssen.
Viele Grüße
Rainer
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