Lösung beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass alle Lösungen der Gleichung [mm] x^{5}-2x^{3}-3=0 [/mm] kleiner als 2 sind ( Hinweis: Es ist leichter, mit negativen Lösungen zu arbeiten, führe also eine Variablensubstitution durch ) |
Hallo zusammen,
ich benötige bei dieser Übungsaufgabe dringend Hilfe. Trotz des Hinweises habe ich keinen Plan, wie ich hier rangehen soll.
Das ganze stammt aus einem Mathetrainigsbuch, für dass es leider keine Lösungen gibt. Somit kann ich nicht einmal über die Lösung den Beweisvorgang nachvollziehen, und bin wirklich für jede Hilfe dankbar.
Ich finde einfach keinen Ansatz. Wenn ich den Hinweis richtig verstehe soll ich die Variablen ersteinmal negativ machen. Aber wie mich das dann weiterbring verstehe ich auch nicht.
Ausserdem stelle ich mir die Frage, ob ich nicht eine Fallunterscheidung austellen müsste, also für x<0 und für 0<x<2?
In meiner totaler Verwirrung wäre ich für eine Hilfestellung dankbar
Liebe Grüße
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Hallo,
Rechne mal was vor - versuche einfach mal den Hinweis ein wenig anzusetzen.
lg
PS: an einen Moderator - das Zeug gehört doch fast ins Algebra Forum - bei Schulmathe hat das nix verloren.
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Hallo,
wenn es so einfach wäre. Ich finde einfach keinen Ansatz. Zumal es sich um ein Studienvorrbereitungsbuch handelt und ich mir nie ganz klar darüber bin, von welchen Vorkentnisse der Autor ausgeht.
Meine bisherige Idee wäre eine Ungleichung aufzustellen.
Also [mm] x^{5}-2x^{3}-3<0 [/mm] (zumindest für die negativen X Werte).
Aber damit komme ich auch auf kein vernünftiges Ergebnis.
Ich bekomme trotz tagelangen herumprobieren einfach keinen Zugang zu dieser Aufgabe.
B.t.w. Ich war mir selbst nicht klar darüber, in welche Kategorie man eine solche Aufgabe Posten soll, daher landete es eben in Schulmathe /Sonstiges 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> S.o
> Hallo,
>
> wenn es so einfach wäre. Ich finde einfach keinen Ansatz.
> Zumal es sich um ein Studienvorrbereitungsbuch handelt und
> ich mir nie ganz klar darüber bin, von welchen
> Vorkentnisse der Autor ausgeht.
>
> Meine bisherige Idee wäre eine Ungleichung aufzustellen.
> Also [mm]x^{5}-2x^{3}-3<0[/mm] (zumindest für die negativen X
> Werte).
vorweg: hast Du Freds Antwort gelesen?
Das, was Du oben machen willst, folgt aus dem, was ich sage: Betrachte
[mm] $f\,'$, [/mm] dann siehst Du insbesondere
[mm] $\bullet$ $f\,$ [/mm] steigt auf [mm] $(-\infty, -\,\sqrt{6/5}]$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $f\,$ [/mm] fällt auf [mm] $[-\,\sqrt{6/5},+\sqrt{6/5}]$
[/mm]
Damit folgt: [mm] $\left f \right|_{(-\infty,\sqrt{6/5}]}$ [/mm] hat an der Stelle [mm] $-\,\sqrt{6/5}$ [/mm] ein
(lokales und) globales Maximum.
(Hier rede ich von [mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $(-\infty,\sqrt{6/5}]$!)
[/mm]
Ausrechnen zeigt: [mm] $f(-\,\sqrt{6/5}) [/mm] < 0$
Fazit: Es gilt $f(x) < 0$ für alle $x [mm] \in (-\infty,\sqrt{6/5}]$; [/mm] wir erhalten also sogar
mehr als das, was Du wolltest!
P.S. Man kann - aber das fällt ohne eine Vorüberlegung wie oben ein wenig
vom Himmel - sicher auch einfach mal
[mm] $x=x(t)=-\sqrt{6/5}+t$
[/mm]
substituieren. Und dann zeigen: Für $t [mm] \le 2*\sqrt{6/5}$ [/mm] ist [mm] $f(x(t))\le f(-\sqrt{6/5})$.
[/mm]
(Und nachrechnen, dass [mm] $f(-\sqrt{6/5}) [/mm] < 0$ gilt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass alle Lösungen der Gleichung [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm]
> kleiner als 2 sind ( Hinweis: Es ist leichter, mit
> negativen Lösungen zu arbeiten, führe also eine
> Variablensubstitution durch )
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige bei dieser Übungsaufgabe dringend Hilfe.
> Trotz des Hinweises habe ich keinen Plan, wie ich hier
> rangehen soll.
>
> Das ganze stammt aus einem Mathetrainigsbuch, für dass es
> leider keine Lösungen gibt. Somit kann ich nicht einmal
> über die Lösung den Beweisvorgang nachvollziehen, und bin
> wirklich für jede Hilfe dankbar.
nun, es ist
[mm] $f(x)=x^5-2x^3-3\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $f\,'(x)=5x^4-6x^2=x^2*(5x^2-6)\,.$
[/mm]
Überlege Dir: $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ gilt genau dann, wenn $|x| [mm] \ge \sqrt{6/5}$ [/mm] ist.
Das bedeutet: Links von [mm] $-\sqrt{6/5}$ [/mm] ist $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ und damit wächst dort [mm] $f\,.$
[/mm]
Berechne [mm] $f(-\sqrt{6/5})$ [/mm] und zeige, dass dies ein Wert $< 0$ ist.
Weil $f'(x) [mm] \le [/mm] 0$ für $x [mm] \in [-\sqrt{6/5},\,\sqrt{6/5}]$ [/mm] gilt, fällt dort [mm] $f\,$ [/mm] wieder.
Du weißt damit: Der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] verläuft unterhalb der x-Achse für $x [mm] \le \sqrt{6/5}$.
[/mm]
Weil [mm] $f\,'(x) [/mm] > 0$ für alle $x > [mm] \sqrt{6/5}$ [/mm] gilt, wächst [mm] $f\,$ [/mm] streng für $x > [mm] \sqrt{6/5}\,.$
[/mm]
Auf [mm] $[\sqrt{6/5},\infty)$ [/mm] kann es also nur noch genau einen Schnittpunkt mit der
x-Achse geben (und den gibt es auch, weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist).
Berechne nun mal bspw. $f(19/10)$.
P.S. Dieser Lösungsweg ist natürlich rein analytisch! Die algebraische
Variante habe ich mir auch noch gar nicht überlegt. 
P.P.S. Ein weiterer Ansatz wäre vielleicht, zu schauen, ob man
$|f(x)|$
nach unten abschätzen kann für $|x| [mm] \ge [/mm] 2$.
(Natürlich kann man auch einfach meine Überlegungen dahingehend
ausbauen; ich meinte eher eine *straight forward* - Abschätzung!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:28 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Vielen Dank für deine Mühe.
Ich bezweifle allerdings, dass der Verfasser diesen Lösungsweg angedacht hat.
Bisher waren die Wege auf einem deutlich einfacheren Niveu ( und für den von dir gewählten bringe ich das notwendige Grundwissen kaum auf, dennoch werde ich mich mal versuchen das ganze nach zu vollziehen )
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Mühe.
>
> Ich bezweifle allerdings, dass der Verfasser diesen
> Lösungsweg angedacht hat.
> Bisher waren die Wege auf einem deutlich einfacheren Niveu
> ( und für den von dir gewählten bringe ich das notwendige
> Grundwissen kaum auf, dennoch werde ich mich mal versuchen
> das ganze nach zu vollziehen )
ich hatte mehr in die Aufgabe reininterpretiert: Aus irgendeinem Grund
wollte ich nachweisen, dass alle Nullstellen vom Betrag her < 2 sind.
Gezeigt habe ich viel mehr: Es gibt genau eine Nullstelle, und die liegt
zwischen [mm] $\sqrt{6/5}$ [/mm] und $19/10$.
Fred hat das Ganze aber nochmal auf das Wesentliche reduziert. Und ich
denke eigentlich nicht, dass das sehr schwer ist.
Grundlagenwissen:
1.) Du musst Polynomfunktionen ableiten können.
2.) Du musst wissen, wie Du mit der Ableitung auf das Monotonieverhalten
(stückweise) der Funktion schließen kannst.
3.) Zwischenwertsatz (davon macht man in der Schule eigentlich
permanent Gebrauch; obwohl ich bezweifle, dass jeder Lehrer/jede
Lehrerin den auch beweist).
Gruß,
Marcel
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Hallo!
Naja, im Prinzip ist die Lösung von Marcel nicht so schwierig, wahrscheinlich bist du nur etwas überfordert. Die Kernaussage ist folgende:
- An der Ableitung erkennst du, daß es Exrema bei x=0 und [mm] x=\pm\sqrt{6/5}\approx\pm1.1 [/mm] gibt.
- Rechts vom rechten Extremum bei [mm] x=+\sqrt{6/5} [/mm] ist die Ableitung immer positiv, das heißt, der Graph von f(x) steigt dort immer weiter.
- Das bedeutet: Falls für x=2 f(x)>2 ist, wird der Graph für größere x nur noch größere Werte annehmen, aber niemals mehr fallen, es kann daher keine Nullstellen für x>2 geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 08.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass alle Lösungen der Gleichung [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm]
> kleiner als 2 sind ( Hinweis: Es ist leichter, mit
> negativen Lösungen zu arbeiten, führe also eine
> Variablensubstitution durch )
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige bei dieser Übungsaufgabe dringend Hilfe.
> Trotz des Hinweises habe ich keinen Plan, wie ich hier
> rangehen soll.
>
> Das ganze stammt aus einem Mathetrainigsbuch, für dass es
> leider keine Lösungen gibt. Somit kann ich nicht einmal
> über die Lösung den Beweisvorgang nachvollziehen, und bin
> wirklich für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich finde einfach keinen Ansatz. Wenn ich den Hinweis
> richtig verstehe soll ich die Variablen ersteinmal negativ
> machen. Aber wie mich das dann weiterbring verstehe ich
> auch nicht.
> Ausserdem stelle ich mir die Frage, ob ich nicht eine
> Fallunterscheidung austellen müsste, also für x<0 und
> für 0<x<2?
>
> In meiner totaler Verwirrung wäre ich für eine
> Hilfestellung dankbar
>
> Liebe Grüße
>
Du schreibst über Dich: Math. Background: Klasse 1 Grundschule .
Das ist lächerlich. So kann man Dir kaum helfen. Ich versuch es dennoch:
Sei [mm] f(x):=x^5-2x^3-3
[/mm]
Dann ist [mm] f'(x)=5x^4-6x^2=x^2(5x^2-6).
[/mm]
Man sieht nun leicht: f'(x)>0 für x [mm] \ge [/mm] 2. f ist also im Intervall [2, [mm] \infty) [/mm] streng mon. wachsend. Folglich gilt:
f(x) [mm] \ge [/mm] f(2)=13 für jedes x [mm] \ge [/mm] 2.
Somit muss jede Nullstelle von f kleiner als 2 sein.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Entschuldige,
du hast natürlich Recht. Beim Ausfüllen meines Profils habe ich nicht darüber nachgedacht, dass mein mathematisches Vorwissen natürlich von Belang ist, wenn man mir etwas erklären will. Danke für deinen Hinweis.
Allerdings habe ich seit dem Abi schon wieder so einiges vergessen
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Sa 09.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> du hast natürlich Recht. Beim Ausfüllen meines Profils
> habe ich nicht darüber nachgedacht, dass mein
> mathematisches Vorwissen natürlich von Belang ist, wenn
> man mir etwas erklären will. Danke für deinen Hinweis.
Ich weiß auch nicht, warum viele Leute hier immer so viel Wert auf dieses "mathematische Vorwissen" legen.
Eigentlich sollte eine Lösung ja unabhängig von dem Vorwissen sein. Oder anders gesagt: ohne ein bestimmtes Vorwissen lassen sich manche Aufgaben gar nicht verstehen und eventuell auch überhaupt nicht lösen.
Und wenn sich eine Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen lösen lässt, dann habe ich manchmal den Eindruck, dass die Erklärungen der Mathehelfer umso komplizierter werden, je höher das Mathewissen des Fragenden ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > du hast natürlich Recht. Beim Ausfüllen meines Profils
> > habe ich nicht darüber nachgedacht, dass mein
> > mathematisches Vorwissen natürlich von Belang ist, wenn
> > man mir etwas erklären will. Danke für deinen Hinweis.
>
> Ich weiß auch nicht, warum viele Leute hier immer so viel
> Wert auf dieses "mathematische Vorwissen" legen.
weil es zum Beispiel keinen Sinn macht, jemanden eine Lösung etwa mit
funktionalanalytischen Mitteln zu präsentieren, wenn dieser gerade mal
das Wissen der Oberstufe parat hat.
> Eigentlich sollte eine Lösung ja unabhängig von dem
> Vorwissen sein.
Genau. Und Universitäten sind überflüssig. Wir werden alle Allrounder...
> Oder anders gesagt: ohne ein bestimmtes
> Vorwissen lassen sich manche Aufgaben gar nicht verstehen
> und eventuell auch überhaupt nicht lösen.
Richtig.
> Und wenn sich eine Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen
> lösen lässt, dann habe ich manchmal den Eindruck, dass
> die Erklärungen der Mathehelfer umso komplizierter werden,
> je höher das Mathewissen des Fragenden ist.
Das ist DEIN Eindruck. Ich verstehe Deine Motivation einer solchen
Mitteilung hier nicht, sie ist - in meinen Augen - überflüssig.
Wenn *elementare* Lösungen gefordert werden, kann man das sagen,
und normalerweise versucht man auch eine solche zu präsentieren, wenn
klar ist, dass das Gegenüber auch nicht viel mehr Vorkenntnisse haben
kann.
Bei Aufgaben der Universität spielen Vorkenntnisse meist eine sehr
bedeutende Rolle. Ich kann nicht sagen, dass Du eine Aufgabe mit
dem Zwischenwertsatz lösen kannst, wenn Du den noch gar nicht
kennst. Und wenn Du die Lösung nachvollziehen willst, obwohl Du
den ZWS noch nicht kennst, dann wirkt das natürlich *erstmal*
komplizierter - meist aber auch nur, solange Du ihn noch nicht
verinnerlicht hast.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Sa 09.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> > Ich weiß auch nicht, warum viele Leute hier immer so viel
> > Wert auf dieses "mathematische Vorwissen" legen.
>
> weil es zum Beispiel keinen Sinn macht, jemanden eine
> Lösung etwa mit funktionalanalytischen Mitteln zu präsentieren, wenn
> dieser gerade mal das Wissen der Oberstufe parat hat.
Dann stellt sich aber auch die Frage, ob jemand überhaupt eine Aufgabe stellen würde, für die "Spezialwissen" erforderlich ist, wenn dieser gerade mal das Wissen der Oberstufe parat hat.
Also: Aufgaben deren Sinn und Zweck ich nicht verstehe, die ergeben sich für mich erst gar nicht.
> > Eigentlich sollte eine Lösung ja unabhängig von dem Vorwissen sein.
> Genau. Und Universitäten sind überflüssig. Wir werden alle Allrounder...
Hier sehe ich den Zusammenhang der beiden Aussagen nicht.
Außerdem konnte der erste Mensch, der irgendwas entdeckt / entwickelt / erfindet, ja auch nicht das Vorwissen haben, da es ein solches noch gar nicht gab.
Aber da wird die Diskussion wohl zu philosophisch...
> > Und wenn sich eine Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen
> > lösen lässt, dann habe ich manchmal den Eindruck, dass
> > die Erklärungen der Mathehelfer umso komplizierter werden,
> > je höher das Mathewissen des Fragenden ist.
>
> Das ist DEIN Eindruck.
Das stimmt, dass das mein persönlicher Eindruck ist.
Andererseits klicke ich Aufgaben sofort weg, deren Sinn und Zweck ich nicht verstehe (das ist dann so, als würden da nur russische Wörter stehen, wo ich nicht mal das kyrillische Alphabet kenne)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
> > > Ich weiß auch nicht, warum viele Leute hier immer so viel
> > > Wert auf dieses "mathematische Vorwissen" legen.
> >
> > weil es zum Beispiel keinen Sinn macht, jemanden eine
> > Lösung etwa mit funktionalanalytischen Mitteln zu
> präsentieren, wenn
> > dieser gerade mal das Wissen der Oberstufe parat hat.
>
> Dann stellt sich aber auch die Frage, ob jemand überhaupt
> eine Aufgabe stellen würde, für die "Spezialwissen"
> erforderlich ist, wenn dieser gerade mal das Wissen der
> Oberstufe parat hat.
Du hast gesagt, dass Du nicht verstehst, warum das Vorwissen relevant
ist.
Ich gebe Dir aber auch mal ein anderes Beispiel: Bei einer Funktion der
Bauart [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] kann man mit Wissen des 8., 9. Schuljahrs Gymnasium
den Scheitelpunkt ermitteln.
Das ist *minimal anstrengend*, denn von wegen quadratische Ergänzung
usw.
Mit Mitteln der Differentialrechnung (Oberstufe!) geht das aber sehr viel
schneller!
> Also: Aufgaben deren Sinn und Zweck ich nicht verstehe, die
> ergeben sich für mich erst gar nicht.
In der Welt geht es aber nicht nur um Deine Aufgaben.
> > > Eigentlich sollte eine Lösung ja unabhängig von dem
> Vorwissen sein.
Nein, es gibt Aufgaben, für die man in der Regel einiges an Vorwissen
braucht, um sie lösen zu können.
> > Genau. Und Universitäten sind überflüssig. Wir werden
> alle Allrounder...
>
> Hier sehe ich den Zusammenhang der beiden Aussagen nicht.
> Außerdem konnte der erste Mensch, der irgendwas entdeckt /
> entwickelt / erfindet, ja auch nicht das Vorwissen haben,
> da es ein solches noch gar nicht gab.
Nein, aber warum heißen WEITER-Entwicklungen wohl WEITER-Entwicklungen???
> Aber da wird die Diskussion wohl zu philosophisch...
>
>
>
>
>
> > > Und wenn sich eine Aufgabe auf unterschiedlichen Wegen
> > > lösen lässt, dann habe ich manchmal den Eindruck, dass
> > > die Erklärungen der Mathehelfer umso komplizierter werden,
> > > je höher das Mathewissen des Fragenden ist.
> >
> > Das ist DEIN Eindruck.
>
> Das stimmt, dass das mein persönlicher Eindruck ist.
> Andererseits klicke ich Aufgaben sofort weg, deren Sinn und
> Zweck ich nicht verstehe (das ist dann so, als würden da
> nur russische Wörter stehen, wo ich nicht mal das
> kyrillische Alphabet kenne)
Nochmal: Es gibt - gerade in der Mathematik - eine *typische* Arbeitsweise,
die sich bewährt hat. Und das ist auch in Naturwissenschaften, anderen
Geisteswissenschaften (Mathematik ist für mich eigentlich eine Struktur-
Wissenschaft), ... meist nicht gänzlich anders.
Mach' das, was ich Dir gesagt hab', damit Du verstehst, wie *eigentlich*
(höhere) Mathematik (in der Regel) *funktioniert*, *aufgebaut ist*, etc.
Ich sehe hier keinen wirklichen Sinn in einer Weiterdiskussion...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 So 10.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich gebe Dir aber auch mal ein anderes Beispiel: Bei einer Funktion der Bauart
> [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
> kann man mit Wissen des 8., 9. Schuljahrs Gymnasium den Scheitelpunkt ermitteln.
>
> Das ist *minimal anstrengend*, denn von wegen quadratische Ergänzung usw.
> Mit Mitteln der Differentialrechnung (Oberstufe!) geht das aber sehr viel schneller!
Das ist ein gutes Beispiel. Und dennoch halte ich dagegen:
Wenn er Schüler der 8. Klasse sich selbst die Differentialrechnung beibringt (auch wenn er diese noch nicht "gehabt" hat) bzw. wenn der Oberstufenschüler die Aufgabe mithilfe der quadratischen Ergängzung löst, dann darf man beiden das nicht als "Fehler" anrechnen, sofern das Endergebnis stimmt.
Genau das ist es, was mich stört, dass den Menschen immer vorgeschrieben wird, wie sie etwas machen sollen. Das bezieht sich gar nicht mal nur auf Mathematik, sondern auch auf viele andere Bereiche des Lebens - aber scheinbar ja auch auf die Mathematik!
> Ich sehe hier keinen wirklichen Sinn in einer Weiterdiskussion...
Da gebe ich dir recht, weil es sich um eine Grundsatzdebatte handelt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 10.05.2015 | | Autor: | Marcel |
> > Ich gebe Dir aber auch mal ein anderes Beispiel: Bei einer
> Funktion der Bauart
> > [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
> > kann man mit Wissen des 8., 9. Schuljahrs Gymnasium den
> Scheitelpunkt ermitteln.
> >
> > Das ist *minimal anstrengend*, denn von wegen quadratische
> Ergänzung usw.
> > Mit Mitteln der Differentialrechnung (Oberstufe!) geht
> das aber sehr viel schneller!
>
> Das ist ein gutes Beispiel. Und dennoch halte ich dagegen:
> Wenn er Schüler der 8. Klasse sich selbst die
> Differentialrechnung beibringt (auch wenn er diese noch
> nicht "gehabt" hat) bzw. wenn der Oberstufenschüler die
> Aufgabe mithilfe der quadratischen Ergängzung löst, dann
> darf man beiden das nicht als "Fehler" anrechnen, sofern
> das Endergebnis stimmt.
Wer sagt, dass das ein Fehler sei? Die Argumente müssen stimmen. Es gibt
hierbei aber einen Unterschied: Wenn der Lehrer in der Oberstufe in seiner
Aufgabe EXPLIZIT FORDERT, dass der Scheitelpunkt mit den Methoden der
Differentialrechnung berechnet werde (weil es um eine Verständnisfrage
dahingehend geht), dann bringt es mir nichts, wenn ich ihm zeige, dass ich
den Scheitelpunkt mit quadratischer Ergänzung berechnen kann.
Wenn in der Aufgabe nur steht, dass man den Scheitelpunkt berechnen
soll, dann kann ich doch selbst meine Methode, sofern sie den richtig ist,
auswählen. Sowas kam durchaus auch in meiner Mathe-Abi-Klausur vor,
und dafür habe ich an keiner Stelle Punktabzüge erhalten. Warum auch???
> Genau das ist es, was mich stört, dass den Menschen immer
> vorgeschrieben wird, wie sie etwas machen sollen.
??
> Das bezieht sich gar nicht mal nur auf Mathematik, sondern auch
> auf viele andere Bereiche des Lebens - aber scheinbar ja
> auch auf die Mathematik!
Nein, aber es gibt in der Mathematik durchaus *elegante* und
*unelegante * Vorgehensweisen. Natürlich will man meist so elegant
wie möglich vorgehen.
> > Ich sehe hier keinen wirklichen Sinn in einer
> Weiterdiskussion...
>
> Da gebe ich dir recht, weil es sich um eine Grundsatzdebatte handelt.
Na, Du diskutierst hier etwas, was *vermutlich* daraus resultiert, dass Du
dahingehend schlechte Erfahrungen gemacht hattest und projezierst das
nun auch auf andere Situationen und Bereiche.
Wenn Du etwa einen Mathelehrer/eine Mathelehrerin hattest, der/die immer
nur Lösungen der Aufgabe akzeptiert hatte, die nach *ihrer Musterlösung*
gelöst wurden, dann verstehe ich dahingehend sogar den Frust, den
sowas erzeugt haben muss.
Ich kann Dir nur sagen: Ich bin selbst Korrektor an der Uni gewesen, und
ich habe zwar beim Korrigieren der Übungen auch in die Musterlösung
geguckt und die nachvollzogen (weil viele die Aufgaben ja tatsächlich auch
so gelöst haben, dass ihre Lösung zumindest der Musterlösung sehr
ähnlich war), aber es gab immer welche, die auch andere Lösungen
vorgeschlagen haben.
Es kostet zwar definitiv viel Zeit, diese dann detailliert zu korrigieren, aber
das habe ich IMMER gemacht. Und wenn die Lösung dann richtig war, dann
bekamen sie auch volle Punktzahl.
Es gibt dabei nur ein kleines Problem: Die Lösung darf keine Kenntnisse
verwenden, die bis dato in der Vorlesung noch nicht gegeben waren. Falls
das doch gemacht wird, muss man quasi selbst entscheiden, wie man
damit umgeht.
Und hier gibt es auch eine kleine Ausnahme: Wenn jemand quasi selbst
alle Mittel, die es in der Vorlesung noch nicht gab, zusammengestellt hat
(also alle Aussagen + Beweis), dann bekommt der natürlich auch volle
Punktzahl.
Aber es hat auch seinen Grund, dass das eigentlich nicht gern gesehen
wird: Man soll ja lernen, ERSTMAL immer NUR mit dem, was man zur
Verfügung hat, zu arbeiten.
Ein aktuelles Beispiel: Ich hatte gestern
hier: https://matheraum.de/read?i=1058042
einen Lösungsweg zur Lösung einer Aufgabe vorgeschlagen, der mit
Determinanten arbeitet. Der Fragende hat diese Kenntnis aber
anscheinend noch nicht gehabt. Mit seinen bisherigen Mitteln
(Gaußalgorithmus) konnte er die Aufgabe aber dennoch lösen. Mit den
entsprechenden Kenntnissen, wenn sie demnächst in der Vorlesung zur
Verfügung gestellt werden, kann er sich dann aber entscheiden, welcher
Lösungsweg ihm lieber ist.
(Oder er muss den Satz mit den Determinanten selbst formulieren und mit
seinen bisherigen Mitteln der Vorlesung - oder den Mitteln, die er sich mit
diesen erarbeitet und präsentiert hat - beweisen!)
Aufpassen sollte man aber immer dann: Wenn ich eine Aufgabe mit zwei
verschiedenen Lösungsmethoden bearbeite und erhalte dann auch zwei
verschiedene Ergebnisse: Dann ist doch wenigstens einer der Lösungswege
falsch oder fehlerhaft.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mo 11.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Da man aber durchaus analoge Fehler machen kann,
> bleibe ich bei meiner Formulierung.
Das erinnert mich jetzt an den Mathematiker, der vom Zugfenster aus eine Wiese mit sechs weißen und einem schwarzen Schaf sah. Er notierte dann, dass auf der Wiese mindestens ein Schaf ist, von dem mindestens eine Seite schwarz ist...
Aber du hast natürlich recht:
Nachdem ich 63 : 9 = 5 gerechnet habe, mache ich die Probe.
Und siehe da: es stimmt, denn 5 * 9 = 63
Aber jetzt mal im Ernst: Ich habe eigentlich immer ein gutes Gewissen / Gefühl, dass mein Ergebnis richtig ist, nachdem ich es auf einem anderen Weg nochmal nachgeprüft habe. Denn bei einer umfangreichen Rechnung zweimal genau denselben Fehler zu machen, wäre schon recht unwahrscheinlich.
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> Zeige, dass alle Lösungen der Gleichung
> [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm]
> kleiner als 2 sind
Ich würde es so machen:
Aus [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm] ergibt sich
[mm] x^{3}*(x^{2}-2) [/mm] = 3
Wenn man für x=2 setzt, dann kommt da 8*2 = 16 raus, also mehr als 3
Wenn man den x-Wert erhöht (also x>2), dann werden die Ergebnisse ja noch größer. Also können die Lösungen dieser Gleichung nur Werte <2 sein.
By the way: Sogar für x=1.7 kommt ein größerer Wert als 3 raus, während für x=1.6 das Ergebnis kleiner als 3 ist.
Der höchstmögliche x-Wert liegt also irgendwo zwischen 1.6 und 1.7, auf jeden Fall ist er aber kleiner als 2.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zeige, dass alle Lösungen der Gleichung
> > [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm]
> > kleiner als 2 sind
>
> Ich würde es so machen:
>
> Aus [mm]x^{5}-2x^{3}-3=0[/mm] ergibt sich
>
> [mm]x^{3}*(x^{2}-2)[/mm] = 3
>
> Wenn man für x=2 setzt, dann kommt da
mit dem "da" meinst Du: Auf der linken Seite!
> 8*2 = 16 raus, also mehr als 3
>
> Wenn man den x-Wert erhöht (also x>2), dann werden die
> Ergebnisse
der linken Seite
> ja noch größer. Also können die Lösungen
> dieser Gleichung nur Werte <2 sein.
Die Argumentation ist okay. Meine wurde eigentlich auch nur so
ausführlich, weil ich aus irgendeinem Grund dachte, dass zu zeigen
sei, dass die Nullstellen [mm] $x_N$ [/mm] sogar [mm] $|x_N| [/mm] < 2$ zu erfüllen hätten.
P.S. Ein wenig anders gesagt:
Die Funktion [mm] $f(x)=x^5-2x^3-3$ [/mm] erfüllt $f(2) > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen
[mm] $f(x)=x^3*(x^2-2)-3$
[/mm]
sieht man $f(x) [mm] \ge [/mm] f(2) > 0$ für alle $x > [mm] 2\,.$
[/mm]
(Grund (elementar): Aus $0 [mm] \le [/mm] a,b$ und $c [mm] \ge [/mm] a$ und $d [mm] \ge [/mm] c$ folgt $ab [mm] \le [/mm] cd$.)
P.P.S. Wofür ist der Hinweis eigentlich zu gebrauchen??
Gruß,
Marcel
> By the way: Sogar für x=1.7 kommt ein größerer Wert als
> 3 raus, während für x=1.6 das Ergebnis kleiner als 3 ist.
>
> Der höchstmögliche x-Wert liegt also irgendwo zwischen
> 1.6 und 1.7, auf jeden Fall ist er aber kleiner als 2.
>
>
>
>
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Ich hab da grade was sehr interessantes entdeckt.
Dem Hinweis folgend führt man eine Substitution durch:
Aus
| Aufgabe 1 | | Zeige [mm] x^5-2*x^3-3=0 [/mm] hat keine Lösung mit $x>2_$ |
wird mit der Substitution z+2=x :
| Aufgabe 2 | | Zeige [mm] (z+2)^5-2*(z+2)^3-3=0 [/mm] hat keine Lösung mit $z>0_$ |
Jetzt ist etwas stupide Rechenarbeit erforderlich. Wenn man die Klammern auflöst, erhält man:
[mm] z^5+10z^4+38z^3+68z^2+56z+13=0
[/mm]
Erstaunlicherweise ist das eine reine Summe. Jeder einzelne Term ist für z>0 imer positiv, daher ist es die Summe auch. Mit der Substitution gilt das eben auch für x>2.
Man muß aber deutlich sagen, daß es Glückssache ist, das die Terme in diesem Fall alle positiv sind. Wäre nur einer negativ, könnte man so nicht argumentieren. Der Hinweis soll einen zu diesem Glück verhelfen. In der Regel muß man das so machen, wie es hier nun schon mehrfach steht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab da grade was sehr interessantes entdeckt.
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> Dem Hinweis folgend führt man eine Substitution durch:
>
> Aus
> Zeige [mm]x^5-2*x^3-3=0[/mm] hat keine Lösung mit [mm]x>2_[/mm]
>
>
> wird mit der Substitution z+2=x :
>
> Zeige [mm](z+2)^5-2*(z+2)^3-3=0[/mm] hat keine Lösung mit [mm]z>0_[/mm]
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> Jetzt ist etwas stupide Rechenarbeit erforderlich. Wenn man
> die Klammern auflöst, erhält man:
>
> [mm]z^5+10z^4+38z^3+68z^2+56z+13=0[/mm]
>
> Erstaunlicherweise ist das eine reine Summe. Jeder einzelne
> Term ist für z>0 imer positiv, daher ist es die Summe
> auch. Mit der Substitution gilt das eben auch für x>2.
>
> Man muß aber deutlich sagen, daß es Glückssache ist, das
> die Terme in diesem Fall alle positiv sind. Wäre nur einer
> negativ, könnte man so nicht argumentieren. Der Hinweis
> soll einen zu diesem Glück verhelfen. In der Regel muß
> man das so machen, wie es hier nun schon mehrfach steht.
so erstaunlich ist das nicht. Die stupide Rechenarbeit kannst Du Dir auch
leichter machen:
[mm] $(z+2)^5-2*(z+2)^3-3=(z+2)^3*((z+2)^2-2)-3$
[/mm]
Für $z [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $(z+2)^3*((z+2)^2-2) \ge [/mm] 8*2=16$
P.S. Interessant wäre eigentlich, einfach mal numerisch [mm] $x_0$ [/mm] zu variieren, und
dann [mm] $z=x+x_0$ [/mm] zu substituieren, und zu schauen, wann man für $z [mm] \ge [/mm] 0$ noch
eine Aussage gewinnt (für Dich war ja [mm] $x_0=2$, [/mm] es wird auch [mm] $x_0=19/10$ [/mm] oder
[mm] $x_0=18/10$ [/mm] gehen, wenn man sich mal klargemacht hat, wo die (einzige) Nullstelle
in etwa liegt...)
Gruß,
Marcel
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Naja, das meine ich ja. Nach dem Gerechne (was ich zugegebenerweise dem Rechner überlassen habe), sind alle Terme positiv. Das muß nicht zwangsläufig der Fall sein, [mm] x^3-3x^2-x+18 [/mm] hat eine einzige Nullstelle bei -2, aber dennoch auch negative Terme. Da funktioniert mein Argument also nicht.
Deine Methode ist nun natürlich auch nicht schlecht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja, das meine ich ja. Nach dem Gerechne (was ich
> zugegebenerweise dem Rechner überlassen habe), sind alle
> Terme positiv. Das muß nicht zwangsläufig der Fall sein,
> [mm]x^3-3x^2-x+18[/mm] hat eine einzige Nullstelle bei -2, aber
> dennoch auch negative Terme. Da funktioniert mein Argument
> also nicht.
>
> Deine Methode ist nun natürlich auch nicht schlecht.
naja, mit Deiner Methode hatte ich mal folgende Aufgabe gelöst (ich
reproduziere meinen Weg einfach mal):
Zu zeigen:
[mm] $n^2 \le 2^n$
[/mm]
für alle (natürlichen) $n [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Ich setze $n:=m+3$, dann ist
[mm] $n^2 \le 2^n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 4$
gleichwertig mit
[mm] $(m+3)^2 \le 2^{m+3}$
[/mm]
für alle $m [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Also ist per Induktion
[mm] $m^2+6m+9 \le 8*2^m$
[/mm]
für alle $m [mm] \ge [/mm] 1$ zu beweisen:
Für [mm] $m=1\,$ [/mm] ist diese Ungleichung offensichtlich ($16 [mm] \le [/mm] 16$). Im Induktionsschritt
$m [mm] \to [/mm] m+1$:
Wir wollen in
[mm] $(m+1)^2+6m+15 \stackrel{!}{\le} 16*2^m$
[/mm]
zeigen, dass [mm] $\stackrel{!}{\le}$ [/mm] durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzt werden darf:
Nach I.V.
[mm] $(m+1)^2+6m+15=m^2+8m+16=(m^2+6m+9)+2m+6 \le 8*2^m+2m+6$
[/mm]
Wir werden also fertig, wenn wir noch
$2m+6 [mm] \le 8*2^m$
[/mm]
für alle $m [mm] \in \IN$ [/mm] begründen; das ist aber keine große Kunst mehr...
Gruß,
Marcel
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Eingangs vielen Dank an euch alle,
was mir einfach nicht in den Kopf will ist der zusätzliche Hinweis des Verfassers ( Hinweis: Es ist leichter, mit negativen Lösungen zu arbeiten; führen Sie also eine Variablensubstitution durch ).
Der ist im Orginal so deutlich hervorgehoben, dass ich vermute, es handelt sich um einen elementaren Bestandteil der gedachten Lösung.
Die Variante über die Ableitung sowie die von rabilein1 kann ich nachvollziehen, aber die sind doch unabhängig von der empfohlenen Variablensubstitution.
Vielleicht hätte ich mich auch nicht so sehr auf diesen Hinweis versteifen sollen. Naja ich probiere es mal weiter
Liebe Grüße und nochmal vielen Dank an alle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> s.o.
> Eingangs vielen Dank an euch alle,
>
> was mir einfach nicht in den Kopf will ist der zusätzliche
> Hinweis des Verfassers ( Hinweis: Es ist leichter, mit
> negativen Lösungen zu arbeiten; führen Sie also eine
> Variablensubstitution durch ).
> Der ist im Orginal so deutlich hervorgehoben, dass ich
> vermute, es handelt sich um einen elementaren Bestandteil
> der gedachten Lösung.
>
> Die Variante über die Ableitung sowie die von rabilein1
> kann ich nachvollziehen, aber die sind doch unabhängig von
> der empfohlenen Variablensubstitution.
>
> Vielleicht hätte ich mich auch nicht so sehr auf diesen
> Hinweis versteifen sollen. Naja ich probiere es mal weiter
naja, der Aufgabensteller hatte sich sicher schon etwas dabei gedacht,
aber unsere Wege haben anscheinend bislang nichts mit der Lösungsidee
des Aufgabenstellers zu tun.
Ich frage mich ja auch nach dem Sinn des Hinweises; *brauchen* tut man
ihn keineswegs in notwendiger Weise, aber es gibt sicher eine Lösung,
bei der er verwendet werden kann (also *gebraucht werden* kann schon
sein).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Mo 11.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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