Lösung Differentialgleichung ? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 13.04.2008 | | Autor: | markus12 |
| Aufgabe | Hallo ,
ich hatte in meiner letzten Klausur folgende Aufgabe die ich ums verrecken nicht lösen kann. Vielleicht hat ja von euch einer ne gute Idee
Schadstoffkonzentration eines Sees C(t). Wassermenge des Sees [mm] V[m^3] [/mm] = konstant; Zufluss = Abfluss = [mm] r[m^3]pro [/mm] jahr
Zufluss bringt Schadstoffe mit einer Konzentration k [kg*m^-3] mit sich. Zusätzlich kommt eine Verschmutzung s [kg] pro jahr hinzu
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So die gleichung lautet
C(t) + [mm] \bruch{r}{V} [/mm] * C(t) = [mm] \bruch{1}{V} [/mm] *(r*k+s)
mit ANfangsbedingung C(t0)=Co bei Zeitpunkt to=0
und die AUfgaben:
1, Löse zugehörige homogene Dfgl
2, Löse zugehörige inhomogene DFGl
3, Welchen wert nimmt C(t) für {t [mm] \to \infty} [/mm] an ?
4, Schadstoffzufuhr zu einem best. Zeitpunkt. gestoppt.
Nach wievieln Jahren hat sich die C(t) halbiert ?
Wahrscheinlich ist es ganz einfach, aber ich weis einfach nicht wo und wie ich anfgangen soll.
Danke schonmal
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo markus,
Du hast da einen kleinen Tippfehler in der DGL. Sie heißt:
$C'(t) = [mm] -C(t)*\bruch{r}{V}+\bruch{k*r+s}{V}$
[/mm]
Die homogene Gleichung löst man so
[mm] $\integral \bruch{1}{C(t)}\;dC(t)= -\integral\bruch{r}{V}\;dt$
[/mm]
[mm] $ln|C(t)|=-\bruch{r}{V}*t+ln|D|$
[/mm]
[mm] $C(t)_h [/mm] = [mm] D*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
Jetzt weiter mit Variation der Konstanten:
$C(t)= [mm] D(t)*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
$C'(t) = [mm] D'(t)*e^{-\bruch{r}{V}*t}-D(t)*\bruch{r}{V}*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
Einsetzten in die inhomogen DGL:
$C'(t) = [mm] -C(t)*\bruch{r}{V}+\bruch{k*r+s}{V}$
[/mm]
[mm] $D'(t)*e^{-\bruch{r}{V}*t}-D(t)*\bruch{r}{V}*e^{-\bruch{r}{V}*t}+D(t)*\bruch{r}{V}*e^{-\bruch{r}{V}*t} [/mm] = [mm] \bruch{k*r+s}{V}$
[/mm]
$D'(t) = [mm] e^{\bruch{r}{V}*t}*\bruch{k*r+s}{V}$
[/mm]
[mm] $\integral \;dD(t)= \integral e^{\bruch{r}{V}*t}*\bruch{k*r+s}{V}\;dt [/mm] $
$D(t)= [mm] \bruch{V}{r}* e^{\bruch{r}{V}*t}*\bruch{k*r+s}{V}+E$
[/mm]
[mm] $D(t)=e^{\bruch{r}{V}*t}*\bruch{k*r+s}{r}+E$
[/mm]
$C(t)= [mm] D(t)*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
$C(t)= [mm] \bruch{k*r+s}{r}+E*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
Das wäre dann die Lösung der inhomogenen DGL, wobei noch E zu bestimmen wäre:
$C(0)= [mm] \bruch{k*r+s}{r}+E= C_0$
[/mm]
$E = [mm] C_0- \bruch{k*r+s}{r}$
[/mm]
$C(t)= [mm] \bruch{k*r+s}{r}+\left( C_0- \bruch{k*r+s}{r}\right)*e^{-\bruch{r}{V}*t}$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
P.S.
Aufgabe 3: [mm] $\limes_{t \to \infty}C(t)= \bruch{rk+s}{r}$
[/mm]
Aufgabe 4:
[mm] $\bruch{1}{2}* F(t_1)*e^{-\bruch{r}{V}*t_1}=F(t_1)*e^{-\bruch{r}{V}*t_2}=$
[/mm]
[mm] $2=e^{\bruch{r}{V}*(t_2-t_1)}$
[/mm]
[mm] $\bruch{r}{V}*(t_2-t_1)=ln(2)$
[/mm]
[mm] $\Delta [/mm] t = [mm] \bruch{V}{r}*ln(2)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 13.04.2008 | | Autor: | markus12 |
DAnke dir. DAs hat mir heute den abend gerettet.
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