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Hallo und Guten Tag,
kann jemand explizite Lösung(en) in den Funktionen x, y und z für das folgende DGL-System anbieten?
x´=-a*x*z
y´=a*x*z
z´=b*y*(1-z)+c*(1-z)
Bei x, y und z handelt es sich um Konzentrationen von (unterschiedlichen) chemischen Substanzen, die in einer chemischen Reaktion Ausgangsstoff/Zwischenprodukt etc. sind; x´, y´ und z´bezeichnen folglich die Geschwindigkeiten der Abnahme bzw. der Bildung dieser Substanzen (z.B. x´= dx/dt mit x = Konzentration der Komponente "x", t = Zeit). Wichtig wäre es vor allem, eine Funktion zu kennen/zu ermitteln mit x = f(t) (also die Ausgangskomponente, die in dieser Reaktion "verschwindet". Das System lässt sich mit Mathcad numerisch (Runge-Kutta) "lösen"; die Funktion x(t) ergibt/liefert sigmoidale (sigmoide) Kurven.
Ich führe hier erst einmal NICHT meine bislang ins "Nirwana" reichenden Wege auf (kann ich aber gerne nachreichen, wobei, es ist viel Umformerei). Vielleicht habe ich ja auch etwas "Naheliegendes" = Einfaches übersehen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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a, b und c sind übrigens Konstanten, das noch als Anmerkung.
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Hallo,
ich habe das System mit Mathematica zweimal für die willkürlich gewählten Werte [mm] $a=\bruch{1}{2},\;b=\bruch{1}{10},\;c=\bruch{1}{4}$ [/mm] durchrechnen lassen (näherungsweise).
Falls die Summe der Anfangswerte kleiner als 1 ist [mm] $\left( x_0 = \bruch{1}{2},\; y_0 = 0,\; z_0 =\bruch{1}{4}\right)$, [/mm] übersteigt die Summe der Konzentrationen bei ca. $t=1.583$ den Wert 1.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das darf bei Konzentrationen eigentlich nicht passieren!?! Wenn ich mit [mm] $x_0 [/mm] = [mm] 1,\; y_0 [/mm] = [mm] z_0 [/mm] = 0$ beginne, wächst die Summe natürlich schon ab $t=0$ von 1 an und strebt gegen 2.
Die ersten beiden Gleichungen besagen ja, dass $y' = -x'$ ist; daraus folgt, dass $y = [mm] y_0 [/mm] - ( x - [mm] x_0 [/mm] )$ ist. Wenn ich das einsetze und zusätzlich annehme, dass die Summe der Konzentrationen 1 ist, erhalte ich für z eine Konstante. Klar, denn x und y addieren sich ja schon zu einer Konstanten. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Deshalb endlich die Frage: Wenn es sich um Konzentrationen handelt, wieso wird die Summe größer als 1? Wenn es nicht alle Stoffe sind (z.B. gibt es Vermutlich noch L(t), die Kinzentration des Mediums, in denen x,y,z gelöst sind), wäre doch mindestens zu erwarten, dass die Summe [mm] $\le\,1$ [/mm] bleibt.
Oder müssen die Parameter a,b,c gewisse Bedingungen erfüllen (z.B. zu Null summieren)?
Ich habe gerade eine Idee: Könnte es sein, dass es sich um Sättigung statt um Konzentration handelt (inbesondere bei z, das ja einen katalytischen Einfluss auf die ersten beiden Gleichungen zu haben scheint)?
Grüße,
Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke für Deine Mühe, ich habe das Problem NUMERISCH bereits mit Mathcad 12 lösen können (mit speziellen Anfangswerten). Ich benötige aber auch eine explizite Lösung! Zum Gegenchecken usw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 05.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
> Danke für Deine Mühe, ich habe das Problem NUMERISCH
> bereits mit Mathcad 12 lösen können (mit speziellen
> Anfangswerten).
Da ich des Lesens offenbar kundig bin, war mir das bereits klar. Ich habe meine numerischen Bemühungen (inkl. Bild) nur erwähnt, weil dabei die Frage aufkam wieso die Konzentrationen sich zu Werten größer 1 aufsummieren. Wieso nimmt zum Beispiel die Gesamtmenge der Stoffe zu? Wo kommt das her? Sind die Konzentrationen in % gegeben?
> Ich benötige aber auch eine explizite
> Lösung! Zum Gegenchecken usw.
das wäre einfacher, wenn man mehr über x,y,z wüsste....
Gruß,
Peter
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Hallo Wilder_Kaiser,
Ich würde versuchen zunächst eine DGL höherer Ordnung für x draus zu machen.
y'+x'=0
Daraus folgt y=D-x
x'=-axz
[mm] \bruch{x'}{x}=-az
[/mm]
(ln(x))'=-az
Substitution [mm] x_1=lnx
[/mm]
[mm] x_1'=-az
[/mm]
Das kannst Du jetzt alles in die 3. Gleichung einsetzen und erhälst eine DGL 2.Ordnung in [mm] x_1 [/mm] die aber nicht von t abhängt.
Dann kann man eine Standardsubstitution verwenden:
[mm] p(x_1)=x_1'(t(x_1))
[/mm]
wobei [mm] t(x_1) [/mm] die Umkehrfunktion zu [mm] x_1(t)
[/mm]
Diese Substitution führt auf eine DGL erster Ordnung. Ob diese lösbar ist weiß ich auch nicht. Kannst ja mal ausprobieren.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hi,
ich danke Dir! Vielleicht bringt es das!?
Ich hatte x´ nach z aufgelöst, dieses z einmal nach t abgeleitet, und so in der dritten Gleichung (bekanntlich z´=...) alle z´s durch Ausdrücke mit x, x´, x´´ ersetzt. Dieses führte auf:
x´´ + ((bd+c)-(1/x)*x´- bx)*x´+ ((bd+c)*a-ab*x)*x = 0
Also eine DGL in x ALLEIN, immerhin! Toll, aber die sehr "krumpligen" Funktionen bei x´ und x!!!
Ich habe dann eine Substitution y = x´/x gemacht, y´ gemäß Qutientenregel ausgerechnet, daraus x´´ gewonnen, eingesetzt etc.
Das lieferte:
y´- [mm] y^2 [/mm] + (bd+c-(1/x)+bx)*y + [mm] (abd+a^2) [/mm] - abx = 0
Laut Bronstein eine Riccatische DGL, die man lösen können sollte. Da komme ich aber nicht so recht weiter!
Dein "Trick" mit (ln(x))´ usw. scheint mir nicht schlecht=viel besser zu sein! Dein Vorschlag, über diesen Trick und Umformungen das Ganze zum Schluss in eine DGL 1. Ordnung zu bringen - klingt nach dem einzig richtigen Weg. Werde es mal versuchen.
Das System ist übrigens numerisch mit speziellen Anfangswerten lösbar (ich habe Mathcad 12 hier). Fittet Messwerte recht gut. Wobei ich ("per Hand") die vier Konstanten anpassen muss, was natürlich nicht so richtig "toll" ist...
Es wäre halt aber schön, eine explizite Lösung herauszurechnen, um sie (unabhängig) vom Mathcad-Prozedere an die Messwerte (nichtlinear) mit Origin oder Ähnlichem anzufitten.
Schönen Tag noch!
P.S. Falls Du das natürlich evtl. schon gelöst haben solltest, gib mir bitte gerne eine kurze Nachricht! Danke.
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Hallo Wilder_Kaiser,
> Ich hatte x´ nach z aufgelöst, dieses z einmal nach t
> abgeleitet, und so in der dritten Gleichung (bekanntlich
> z´=...) alle z´s durch Ausdrücke mit x, x´, x´´ ersetzt.
> Dieses führte auf:
>
> x´´ + ((bd+c)-(1/x)*x´- bx)*x´+ ((bd+c)*a-ab*x)*x = 0
Das klingt erstmal auch nicht schlecht. Da die Funktion x ja von t abhängt und t in deiner Gleichung nicht vorkommt kannst Du auch hierauf die angesprochene Standardsubstitution anwenden um das Ganze in eine DGL 1.Ordnung umzuwandeln. Ob's das bringt oder ob substituieren [mm] x_1=lnx [/mm] vorher besser ist ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> Ich habe dann eine Substitution y = x´/x gemacht, y´ gemäß
> Qutientenregel ausgerechnet, daraus x´´ gewonnen,
> eingesetzt etc.
> Das lieferte:
> y´- [mm]y^2[/mm] + (bd+c-(1/x)+bx)*y + [mm](abd+a^2)[/mm] - abx = 0
Dies ist verwirrend wenn x eine Funktion von t ist ist die substituierte Funktion y auch von t abhängig. In deiner Gleichung stehen also 2 Funktionen die von t abhängen. Oder hast Du t und x getauscht? (Bin gerade zu müden zum nachrechnen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Laut Bronstein eine Riccatische DGL, die man lösen können
> sollte. Da komme ich aber nicht so recht weiter!
Dann ist's auch keine Ricatti DGL wobei diese auch nicht unbedingt explizit lösbar wäre.
> Dein "Trick" mit (ln(x))´ usw. scheint mir nicht
> schlecht=viel besser zu sein! Dein Vorschlag, über diesen
> Trick und Umformungen das Ganze zum Schluss in eine DGL 1.
> Ordnung zu bringen - klingt nach dem einzig richtigen Weg.
> Werde es mal versuchen.
Tu das. Jetzt bin ich auch neugierig was rauskommt. 
Falls Probleme gibt kannst Dich ja nochmal melden.
gruß
mathemaduenn
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Danke Dir (again).
Ja, es gibt aber (leider) ein neues Problem:
Bin nach Deinem Rezept bei Folgendem gelandet:
p´(x1) + (c+bd-b*exp(x1))*p(x1) = ab*exp(x1) - ac-abd
Cool, sehr schön! So weit, so gut!
Du hattest schon richtig vermutet, dass es dann aber "haarig" werden könnte!
Wie löse ich denn z.B. ein Integral der Form:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] (exp(u*(exp(x1))/exp(v*(x1))) dx1 ???
und
[mm] \integral_{}^{} [/mm] (exp(u*(exp(x1))/exp((v-1)*(x1))) dx1 ???
(mit u und v = const. (aus den anderen Konstanten hier zur Übersichtlichkeit zusammengefasst)
Die eigentliche Hürde ist [mm] \integral_{}^{} [/mm] (exp(exp(x1))) dx1 !!!
Boah!
Der Bronstein hilft da nicht weiter. Mathcad 12 gibt dafür und für ähnliche Terme lustige ganzrationale Terme in x (mit Fakultäten im Nenner) plus einen Term der Integralexponentialfunktion Ei() als Lösung heraus, und das auch nur für u=v=1, ansonsten Finito! Ich denke, das wird es sein, aber wie damit weiterrechnen (auf dem Weg zur expliziten Lösungsfunktion x(t) = ... f(t)?
Ich bin in Kinetik-Lehrbüchern, auch Zachmann "Mathematik für Chemiker", VCH, 1981, auf etwas anderes gestoßen: Das DGL-System über eine spezielle Formulierung eines Eigenwertproblems lösen. Was hälst Du davon? Vermute aber, dass man bei dem gleichen Integral landete.
Finde es jedenfalls Spitze, dass Du Dich in das Problem so reinkniest! Echt alle Achtung! Vielleicht wird es ja noch was!?
Danke jetzt schon für eine weitere Antwort!
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Ich glaube, so könnte es gehen:
Man kann die Funtion f(x1) = exp(u*(exp(x1))/exp(v*(x1)) in eine Taylorreihe entwickeln und nach dem [mm] x1^3-, x1^2- [/mm] oder sogar auch schon nach dem x1-Glied/Term abbrechen.
Man stellt fest (in Mathcad schnell geplottet):
Zwischen ca. 0 < x1 < 10 GROSSE Übereinstimmung der Funktionswerte der exakten und der approximierten Funktion!
Da x1 = ln(x(t)) und x(t) Werte annimmt zwischen 0 < x(t) < 5000, wäre diese Operation i.O./ergo in diesem Definitionsbereich zulässig!
Was meinst Du?
Ich habe es bloß noch nicht ausgerechnet...
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Hallo Wilder_Kaiser,
> p´(x1) + (c+bd-b*exp(x1))*p(x1) = ab*exp(x1) - ac-abd
> Cool, sehr schön! So weit, so gut!
>
> Du hattest schon richtig vermutet, dass es dann aber
> "haarig" werden könnte!
>
> Wie löse ich denn z.B. ein Integral der Form:
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] (exp(u*(exp(x1))/exp(v*(x1))) dx1 ???
> und
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] (exp(u*(exp(x1))/exp((v-1)*(x1))) dx1
> ???
Auf so komplizierte Integrale komm ich nicht. Wie machst du das 
Also nochmal von vorn.
y=d-x
[mm] x=e^{x_1}
[/mm]
[mm] z=-\bruch{x_1'}{a}
[/mm]
[mm] z'=-\bruch{x_1''}{a}
[/mm]
[mm] x_1''=b(d-e^{x_1})(a-x_1') +c(a-x_1')
[/mm]
[mm] x_1''=(a-x_1')(b(d-e^{x_1}) [/mm] +c)
jetzt [mm] p=x_1'(t(x_1))
[/mm]
Jetzt p (nach [mm] x_1! [/mm] ableiten)
[mm] p'=\bruch{x_1''}{p}
[/mm]
Wobei [mm] x_1'' [/mm] die Ableitung nach t ist.
Einsetzen Trennung der Veränderlichen anwenden.
Dann hast Du p.
Dann zurücksubstituieren
[mm] t(x_1)= \integral {\bruch{1}{p} dx_1}
[/mm]
Umkehrfunktion bilden dann hast Du [mm] x_1(t) [/mm] und [mm] x=e^{x_1}
[/mm]
> Ich bin in Kinetik-Lehrbüchern, auch Zachmann "Mathematik
> für Chemiker", VCH, 1981, auf etwas anderes gestoßen: Das
> DGL-System über eine spezielle Formulierung eines
> Eigenwertproblems lösen. Was hälst Du davon? Vermute aber,
> dass man bei dem gleichen Integral landete.
Wenn genau diese DGL dort drinsteht würd ich dem natürlich mehr vertrauen als irgenwelchen Forumsbeiträgen. Ansonsten würd ich darauf tippen das es sich zumindest um lineare DGLsysteme handelt das DGL-System vom Anfang ist aber nichtlinear.
viele Grüße
mathemaduenn
P.S.:Es wäre schön wenn Du auch auf Peter's Fragen zum technischen Hintergrund eingehst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:04 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
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> viele Grüße
> mathemaduenn
> P.S.:Es wäre schön wenn Du auch auf Peter's Fragen zum
> technischen Hintergrund eingehst.
Hallo mathemadünn, es ist lieb, dass noch jemand an mich denkt, aber das Interesse ist verflogen. Der Kaiser ist halt ganz wild darauf, sich in die Dgln zu verbeissen, da braucht es doch keinen realen Hintergrund mehr (das mit der Reihennäherung hätte ich auch schon vor ein paar Tagen posten können, aber da ging ich noch davon aus, dass exekte Lösungen gesucht sind).
Nochmals danke für die Fürsprache,
Peter.
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Nach Trennung der Variablen erhalte ich:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] (p/(a-p)) dp = [mm] \integral_{}^{} [/mm] (bd-b*exp(x1)+c) dx1
Das ergibt:
-p-a*(ln(a-p)) = (bd+c)*x1 - b*exp(x1)
Da sehe ich leider keine Auflösung der Form p = f(x1). Fühle mich an die 10. Klasse erinnert: "Auflösung von exp- oder log-Gleichungen". Den Trick sehe ich nicht (falls es einen gibt). Wie jetzt weiterkommen?
- Kannst Du eigentlich ein gutes Buch zu DGL empfehlen, wo man solche Tricks, wie Du sie mit der Substitution p = x1´(t(x1)) anführst, auch finden kann?
Danke.
P.S. Ich wollte Herrn "Pein" einfach nicht weiter belästigen, weil mir sein Ansatz nicht meine Frage zu treffen schien. Aber er hat es, glaube ich, doch noch richtig verstanden. Soll man dann hier sagen: "Danke, aber Dein Ansatz scheint mir in die falsche Richtung zu gehen, der von Herrn XXX liegt da besser, ich mache lieber mit dem weiter!"? Kenne Eure Spielregeln hier noch nicht so. Will aber auch niemand beleidigen. Ich weiß jedenfalls Eure Mühe zu schätzen.
Werde mich auf jeden Fall auch noch mal bei Herrn "Pein" bedanken. OK?
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Hallo Wilder_Kaiser,
Ich seh gerade auch keine Auflösung bzw. das es nicht gehen kann.
Deshalb erstmal der Buchtipp:
Wolfgang Walther, "Gewöhnliche Differentialgleichungen" , Springer Verlag
Alternativ steht das bestimmt in jedem anderen Buch das "Gewöhnliche Differentialgleichungen" heißt, aber den Walther find ich vergleichsweise schön (einfach).
Ansonsten interessiert mich auch warum Peter_Pein's Lösungsansatz Unstimmigkeiten zu enthalten scheint. Vielleicht läuft meine Idee ja auch hier ins Leere.
viele Grüße
mathemaduenn
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