Lösung Ax=b < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $A = [mm] \pmat{1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0}$ [/mm] und $b = [mm] \vektor{2\\2\\0\\1}$. [/mm] Schaue, ob das System $Ax=b$ eine Lösung hat, ohne eine Lösung auszurechnen. |
Hey,
meine Frage bezieht sich mehr auf die Vorgehensweise. Aus einem Satz folgt, dass ein System $Ax=b$ eine Lösung hat, wenn die Matrix $A$ invertierbar ist. Eine Matrix $A$ ist invertierbar genau dann, wenn all seine Spalten linear unabhängig sind. Kann ich hier also einfach schauen, ob die vier Spalten der Matrix ein linear unabhängiges System bilden? Dann habe ich keine Lösung berechnet, weil ich den Vektor $b$ ja dabei nicht benutze.
Liebe Grüße.
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> Seien [mm]A = \pmat{1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
> und [mm]b = \vektor{2\\2\\0\\1}[/mm]. Schaue, ob das System [mm]Ax=b[/mm]
> eine Lösung hat, ohne eine Lösung auszurechnen.
> Hey,
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> meine Frage bezieht sich mehr auf die Vorgehensweise. Aus
> einem Satz folgt, dass ein System [mm]Ax=b[/mm] eine Lösung hat,
> wenn die Matrix [mm]A[/mm] invertierbar ist. Eine Matrix [mm]A[/mm] ist
> invertierbar genau dann, wenn all seine Spalten linear
> unabhängig sind. Kann ich hier also einfach schauen, ob
> die vier Spalten der Matrix ein linear unabhängiges System
> bilden? Dann habe ich keine Lösung berechnet, weil ich den
> Vektor [mm]b[/mm] ja dabei nicht benutze. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig !
Falls diese Spaltenvektoren aber trotzdem nicht linear
unabhängig sein sollten, könnte der Nachweis etwas
schwieriger werden.
LG , Al-Chw.
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> > Seien [mm]A = \pmat{1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
> > und [mm]b = \vektor{2\\2\\0\\1}[/mm]. Schaue, ob das System [mm]Ax=b[/mm]
> > eine Lösung hat, ohne eine Lösung auszurechnen.
> > Hey,
> >
> > meine Frage bezieht sich mehr auf die Vorgehensweise. Aus
> > einem Satz folgt, dass ein System [mm]Ax=b[/mm] eine Lösung hat,
> > wenn die Matrix [mm]A[/mm] invertierbar ist. Eine Matrix [mm]A[/mm] ist
> > invertierbar genau dann, wenn all seine Spalten linear
> > unabhängig sind. Kann ich hier also einfach schauen, ob
> > die vier Spalten der Matrix ein linear unabhängiges System
> > bilden? Dann habe ich keine Lösung berechnet, weil ich den
> > Vektor [mm]b[/mm] ja dabei nicht benutze.
>
> Richtig !
>
> Falls diese Spaltenvektoren aber trotzdem nicht linear
> unabhängig sein sollten, könnte der Nachweis etwas
> schwieriger werden.
Die Matrix lässt sich auf [mm] $I_4$ [/mm] reduzieren, was ja heißt, dass ihre Spalten linear unabhängig sind (habe ich kontrolliert).
Nur mal aus Interesse: Wenn das nicht so wäre, wären die Spalten linear abhängig. Ich wüsste, wie ich dann die Lösungen berechnen könnte. Aber da man keine Lösung berechnen darf, wüsste ich nicht, wie es gehen sollte. Könntest du (oder jemand Anders) hier kurz drauf eingehen?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien [mm]A = \pmat{1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0}[/mm]
> > > und [mm]b = \vektor{2\\2\\0\\1}[/mm]. Schaue, ob das System [mm]Ax=b[/mm]
> > > eine Lösung hat, ohne eine Lösung auszurechnen.
> > > Hey,
> > >
> > > meine Frage bezieht sich mehr auf die Vorgehensweise. Aus
> > > einem Satz folgt, dass ein System [mm]Ax=b[/mm] eine Lösung hat,
> > > wenn die Matrix [mm]A[/mm] invertierbar ist. Eine Matrix [mm]A[/mm] ist
> > > invertierbar genau dann, wenn all seine Spalten linear
> > > unabhängig sind. Kann ich hier also einfach schauen, ob
> > > die vier Spalten der Matrix ein linear unabhängiges System
> > > bilden? Dann habe ich keine Lösung berechnet, weil ich den
> > > Vektor [mm]b[/mm] ja dabei nicht benutze.
> >
> > Richtig !
> >
> > Falls diese Spaltenvektoren aber trotzdem nicht linear
> > unabhängig sein sollten, könnte der Nachweis etwas
> > schwieriger werden.
>
> Die Matrix lässt sich auf [mm]I_4[/mm] reduzieren, was ja heißt,
> dass ihre Spalten linear unabhängig sind (habe ich
> kontrolliert).
>
> Nur mal aus Interesse: Wenn das nicht so wäre, wären die
> Spalten linear abhängig. Ich wüsste, wie ich dann die
> Lösungen berechnen könnte. Aber da man keine Lösung
> berechnen darf, wüsste ich nicht, wie es gehen sollte.
> Könntest du (oder jemand Anders) hier kurz drauf
> eingehen?
>
> Liebe Grüße.
Das LGS Ax=b ist genau dann lösbar, wenn RangA=Rang(A|b)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Do 27.11.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Alles klar. Danke euch! :)
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