Lösen von LGS mit Matrizen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 06.03.2011 | | Autor: | Benja91 |
| Aufgabe | Wann ist das folgende LGS eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder nicht lösbar?
[mm] x1-2x2+x3=\mu
[/mm]
[mm] \lambda*x1-x2-2x3=0
[/mm]
-x1+3x2-2x3=2 |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Ich habe zu dieser Aufgabe zwar die Lösung, allerdings sind mir die Folgerungen nicht ganz klar. Man versucht ja zu erst die Matrix in die obere Dreiecksform zu bringen. Dann habe ich als Ergebnis für die letzte Zeile=
-3+ [mm] \lambda=-3\mu\lambda+2-4\lambda+\mu
[/mm]
Daraus kann man dann wohl folgern, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, für [mm] \lambda\not=3
[/mm]
Kann es sein, dass ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wenn auf der linken Seite der Matrix nur Nullen stehen?
Das System soll dann mehrdeutig lösbar sein, wenn nun auch die rechte Seite der Matrix 0 wird. Also für [mm] -3\mu\lambda+2-4\lambda+\mu=0 \gdw \mu=-5/4
[/mm]
Dann hätte ich ja eine komplette Nullzeile. Ist ein LGS immer mehrdeutig lösbar, wenn ich eine Nullzeile erhalte?
Das Gleichungssystem soll nicht lösbar sein, wenn gilt [mm] \lambda=3 [/mm] und [mm] \mu\not=-5/4
[/mm]
Leider verstehe ich nicht, wann ein Gleichungssystem eindeutig/mehrdeutig/nicht lösbar ist.
Es wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
Liebe Grüße
Benja
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Hallo Benja91,
> Wann ist das folgende LGS eindeutig lösbar, mehrdeutig
> lösbar oder nicht lösbar?
> [mm]x1-2x2+x3=\mu[/mm]
> [mm]\lambda*x1-x2-2x3=0[/mm]
> -x1+3x2-2x3=2
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
>
> Ich habe zu dieser Aufgabe zwar die Lösung, allerdings
> sind mir die Folgerungen nicht ganz klar. Man versucht ja
> zu erst die Matrix in die obere Dreiecksform zu bringen.
> Dann habe ich als Ergebnis für die letzte Zeile=
> -3+ [mm]\lambda=-3\mu\lambda+2-4\lambda+\mu[/mm]
Das muss doch hier so lauten:
[mm]\left(-3+ \lambda\right)*\blue{u}=-3\mu\lambda+2-4\lambda+\mu[/mm]
>
> Daraus kann man dann wohl folgern, dass das
> Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, für [mm]\lambda\not=3[/mm]
Die Lösung ist eindeutig bestimmt, wenn
[mm]-3+ \lambda \not=0[/mm]
> Kann es sein, dass ein Gleichungssystem eindeutig lösbar
> ist, wenn auf der linken Seite der Matrix nur Nullen
> stehen?
Nein.
>
> Das System soll dann mehrdeutig lösbar sein, wenn nun auch
> die rechte Seite der Matrix 0 wird. Also für
> [mm]-3\mu\lambda+2-4\lambda+\mu=0 \gdw \mu=-5/4[/mm]
Ja, das ist so.
> Dann hätte
> ich ja eine komplette Nullzeile. Ist ein LGS immer
> mehrdeutig lösbar, wenn ich eine Nullzeile erhalte?
Sofern sich kein Widerspruch zu den anderen Gleichungen
ergibt, ist das LGS mehrdeutig lösbar.
>
> Das Gleichungssystem soll nicht lösbar sein, wenn gilt
> [mm]\lambda=3[/mm] und [mm]\mu\not=-5/4[/mm]
Nun, wir haben doch folgendes:
Das LGS ist für [mm]\lambda \not=3[/mm] eindeutig lösbar.
Für [mm]\lambda=3[/mm] und [mm]\mu=-\bruch{5}{4}[/mm] ist das LGS mehrdeutig lösbar.
Daraus ergibt sich, dann daß das LGS nicht lösbar ist,
wenn [mm]\lambda=3[/mm] und [mm]\mu \not=-\bruch{5}{4}[/mm]
So kommst Du drauf:
Die Lösbarkeit des LGS ist gegeben durch folgenden Ausdruck:
[mm]\left(\lambda \not=3\right) \vee \left(\lambda=3 \wedge \mu=-\bruch{5}{4}\right)[/mm]
Durch Negation dieses Ausdrucks erhältst Du
eine Bedingung für die Unlösbarkeit des LGS.
>
> Leider verstehe ich nicht, wann ein Gleichungssystem
> eindeutig/mehrdeutig/nicht lösbar ist.
>
> Es wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Liebe Grüße
> Benja
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 06.03.2011 | | Autor: | Benja91 |
Hallo Mathe Power,
schonmal vielen Dank für die Antwort. Mir ist jetzt vieles schon klarer geworden.
> > Dann hätte
> > ich ja eine komplette Nullzeile. Ist ein LGS immer
> > mehrdeutig lösbar, wenn ich eine Nullzeile erhalte?
>
>
> Sofern sich kein Widerspruch zu den anderen Gleichungen
> ergibt, ist das LGS mehrdeutig lösbar.
Nur habe ich irgendwo gehört, dass ein LGS mehrdeutig lösbar ist, wenn es eine Nullzeile gibt. Was ist an dieser Aussage dran?
Gruss
Benja
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Hallo Benja,
>
> Nur habe ich irgendwo gehört, dass ein LGS mehrdeutig
> lösbar ist, wenn es eine Nullzeile gibt. Was ist an dieser
> Aussage dran?
Wenn sie so alleine da steht, nicht sehr viel. Man braucht noch einen Bezug zur Anzahl der Gleichungen und der Anzahl an Unbekannten. Schauen wir mal hier:
I 2x-y=0
II x+y=0
III 2x+2y=0
Die letzten beiden Gleichungen beinhalten die gleiche Aussage, in der ZSF gibt es folglich eine Nullzeile. Dennoch ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar mit der Lösung x=y=0, denn es bleiben immer noch zwei Gleichungen übrig, um x und y eindeutig zu bestimmen.
Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann nicht eindeutig lösbar, wenn es widerspruchsfrei ist und es mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen gibt.
>
> Gruss
> Benja
>
>
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:01 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Benja91 |
Hallo,
vielen Dank für die super Antworten. Ich möchte es nur nochmal gerne zusammenfassen, um zu schauen ob ich alles richtig verstanden habe:
1. Das LGS ist eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix = der Anzahl der Unbekannten ist.
Dazu nochmal eine Frage: Für eine eindeutige Lösung muss [mm] \lambda\not=3 [/mm] sein. So gehe ich sicher, dass die linke Seite der Matrx nicht 0 wird. Muss ich das nicht eigentlich dann auch für die rechte Seite sicherstellen oder folgt das daraus?
2. Das LGS ist doch dann mehrdeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix < Anzahl der Unbekannten , oder?
3. Nicht lösbar ist es dann, wenn ein Widerspruch auftritt. Könnte es dann nicht auch sein, dass das LGS keine Lösung hat, wenn [mm] \lambda\not=3 [/mm] und [mm] \mu=5/4 [/mm] gilt?
Liebe Grüße
Benja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 09.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Do 10.03.2011 | | Autor: | Benja91 |
Hallo,
es wäre toll, wenn jemand meine Frage beantworten könnte, weil ich mir immernoch unsicher bin, ob ich die Vorgehensweise bei linearen GS richtig verstanden habe...
Danke =)
Gruss
Benja
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Hallo,
das LGS Ax=b ist
-nicht lösbar, wenn Rang A< Rang(A|b), der rang der Koeffizientenmatrix also von dem der erweiterten Koeffizientenmatrix verschieden ist. (Dann bekommt man nämlich einen Widerspruch)
Das LGS ist
-lösbar, wenn Rang A= rang (A|b)
In diesem Fall ist es
- eindeutig lösbar, wenn der Rang von A gleich der Anzahl der Variablen ist.
- mehrdeutig lösbar, wenn der Rang von A kleiner als die Anzahl der Variablen ist.
Gruß v. Angela
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