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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem y'= [mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] mit y(0)=0.
Anleitung: Betrachten Sie x als abhängige Variable. |
Hallo Mathegenies,
mein Problem liegt eigentlich bei der Anleitung. Dort steht ja x soll man als abhängige Variable betrachten. Wie macht man das?
Mein Ansatz:
Setze u = x+y
u' = 1+y'
Dann folgt:
[mm] u'-1=\bruch{1}{u}
[/mm]
durch umformen und integrieren erhält man dann
u - log(1+u)=x+c
x+y-log(x+y+1)=x+c
Wie wird diese Gleichung nach y aufgelöst, damit man c wählen, sodass y(0)=0 ist?
Stimmt so weit mein Ansatz?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Bis bald, ursus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 So 15.04.2007 | | Autor: | nsche |
Hallo Ursus
> durch umformen und integrieren erhält man dann
> u - log(1+u)=x+c
kannst du schreiben, wie du die Variablen getrennt hast und wie deine Integral aussehen? Ich vermute:
[mm] \integral_{y_{0}}^{y}{1-\bruch{1}{u} du = \integral_{x_{0}}^{x}{dx}}
[/mm]
Ich trenne die Variablen so:
[mm]\bruch{du}{dx}-1 = \bruch{1}{u}[/mm]
[mm]\bruch{du}{dx} = 1+\bruch{1}{u}[/mm]
[mm]du = (1+\bruch{1}{u})dx[/mm]
[mm]\bruch{du}{1+\bruch{1}{u}} = dx[/mm]
[mm] \integral_{y_{0}}^{y}{ \bruch{u}{u+1} du} = \integral_{x_{0}}^{x}{dx}[/mm]
<edit>
das Integrieren führt zu
[mm]u-\ln(u+1)|_{y_{0}}^{y} = x|_{x_{0}}^{x}[/mm]
[mm]y-\ln(y+1)-(y_{0}-\ln(y-{0}+1)= x -x_{0}[/mm]
[mm]y-\ln(y+1)= x -x_{0} + (y_{0}-\ln(y_{0}+1))[/mm]
aber das nach y auflösen ???
</edit>
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Ursus |
Hallo nsche!
Habe das trennen der Variablen genau gleich gemacht wie du.
Erhalte somit folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{1-\bruch{1}{u+1} du = \integral_{}^{}{dx}}
[/mm]
Ich habe halt noch keine Grenzen eingesetzt.
u - log(u+1)=x+c
x + y - log(x+y+1)=x+c
Dann bekomme ich
y - log(x+y+1)= c
Wenn ich nun diese Gleichung nach y auflösen könnte, dann könnte man die Anfangsbedingung mit y(0)=0 einsetzen und somit das c bestimmen.
Aber ich glaube, dass man diese Gleichung gar nicht nach y auflösen kann.
Meine Frage also: Stimmt mein Ansatz überhaupt, weil in der Anleitung steht doch man soll x als abhängige Variable betrachten.
Ich rechne aber so als ob x die unabhängige und y die abhängige Var ist.
Vielen Dank im Voraus!
mfg ursus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
mit x'=1/y' (Differentiation der Umkehrfkt)
hast du :
y'*(x+y)=1
x=(1-yy')/y'
x=(1-y/x')*x'
x-x'=y
Das führt aber - muss ja - zur selben Lösung wie bei dir!
sowaohl bei dir wie hier kannst du x(0)=0 eisetzen, d.h. in deiner Gl. x und y =0 daraus c=0
Gruss leduart
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