Lösen eines einfachen LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | Löse das folgende LGS für die unbekannten [mm]x'_{1} [/mm] und [mm]x'_{2} [/mm].
I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2}) [/mm]
II: [mm]\alpha*(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=\beta(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2} ) [/mm]. |
Hallo liebe Mathematik-Freunde,
während der Nachhilfestunde kam folgende Diskussion auf und ich würde gerne auch eure Meinungung dazu hören.
Ich habe dieses LGS so gelöst, dass ich die Gleichung I nach [mm] x'_{2}[/mm] umgestellt und in Gleichung II eingesetzt habe.
Bekam dann die Lösungen für [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha}{2\beta}\pm\wurzel{(\bruch{\alpha}{2\beta})^{2}+x_{1}^{2}-\bruch{\alpha}{\beta}x_{1}-2x_{2} }[/mm]. ( analog für [mm]x'_{2} [/mm] ) heraus.
Jetzt sagte mir mein Nachhilfeschüler, dass, wenn man Gleichung II durch Gleichung I dividiert, folgende Gleichungen erhält:
I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2}) [/mm]
IIa: [mm] x_{1}+x'_{1}=x'_{2}+x_{2}[/mm]
und somit [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha*x_{1}+\beta*(2x_{2}-x_{1})}{\alpha+\beta}[/mm] (analog für [mm]x_{2}[/mm]).
Aber kann man denn so einfach Gleichungen dividieren? Ich dachte immer, dass man beim LGS nur äquivalentsumformungen benutzen dürfte?
Würde mich sehr über antworten freuen
MfG
Olli
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Hallo,
> Löse das folgende LGS für die unbekannten [mm]x'_{1}[/mm] und
> [mm]x'_{2} [/mm].
> I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2})[/mm]
> II:
> [mm]\alpha*(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=\beta(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2} ) [/mm].
Ich sehe hier kein Lineares GleichungsSystem.
> Hallo liebe Mathematik-Freunde,
> während der Nachhilfestunde kam folgende Diskussion auf
> und ich würde gerne auch eure Meinungung dazu hören.
>
> Ich habe dieses LGS so gelöst, dass ich die Gleichung I
> nach [mm]x'_{2}[/mm] umgestellt und in Gleichung II eingesetzt
> habe.
>
> Bekam dann die Lösungen für
> [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha}{2\beta}\pm\wurzel{(\bruch{\alpha}{2\beta})^{2}+x_{1}^{2}-\bruch{\alpha}{\beta}x_{1}-2x_{2} }[/mm].
> ( analog für [mm]x'_{2}[/mm] ) heraus.
>
> Jetzt sagte mir mein Nachhilfeschüler, dass, wenn man
> Gleichung II durch Gleichung I dividiert, folgende
> Gleichungen erhält:
> I: [mm]\alpha*(x_{1}-x'_{1})=\beta*(x'_{2}-x_{2})[/mm]
> IIa: [mm]x_{1}+x'_{1}=x'_{2}+x_{2}[/mm]
>
> und somit
> [mm]x'_{1}=\bruch{\alpha*x_{1}+\beta*(2x_{2}-x_{1})}{\apha+\beta}[/mm]
> (analog für [mm]x_{2}[/mm]).
>
> Aber kann man denn so einfach Gleichungen dividieren? Ich
> dachte immer, dass man beim LGS nur äquivalentsumformungen
> benutzen dürfte?
Bei Gleichungen egal welcher Art dürfen nur Äquivalenzumformungen benutzt werden.
Gleichungen dividieren macht auch überhaupt keinen Sinn.
Allerdings ist das Ergebnis richtig.
Denn [mm] $a(x_1^2-x_1'^2)=a(x_1-x_1')(x_1+x_1')=b(x_2-x_2')(x_1+x_1')$, [/mm] durch Einsetzen von I.
Damit kann man, mit geeigneter Fallunterscheidung ,in der II durch [mm] $b(x_2-x_2')$ [/mm] teilen und erhält das Ergebnis.
> Würde mich sehr über antworten freuen
> MfG
> Olli
Ob die Lösungen jeweils richtig sind hab ich nicht nachgeprüft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Olli1968 |
Danke MaslanyFanclub für die schnelle Antwort ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo nochmal,
also ich habe nochmal alles durchgerechnet und nun folgendes erhalten
(statt [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] setzte ich nun a und b ein).
I: [mm] a(x_{1}-x'_{1})=b(x'_{2}-x_{2})[/mm]
II: [mm] a(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=b(x'_{2}^{2}-x_{2}^{2})[/mm]
Dividiere nun beide Gleichungungen jeweils mit b und stelle beide Seiten nach [mm]x'_{2}[/mm] bzw. [mm]x'_{2}^{2}[/mm] um und erhalte
I: [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+x_{2}=x'_{2} [/mm]
II: [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})+x_{2}^{2}=x'_{2}^{2}[/mm]
Nun setzte ich I in II ein und erhalte
[mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})+x_{2}^{2}=(\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+x_{2})^{2}=(\bruch{a}{b})^{2}(x_{1}-x'_{1})^{2}+2\bruch{a}{b}x_{2}(x_{1}-x'_{1})+x_{2}^{2}[/mm]
und somit
[mm]\bruch{a}{b}(x_{1}^{2}-x'_{1}^{2})=(\bruch{a}{b})^{2}(x_{1}-x'_{1})^{2}+2\bruch{a}{b}x_{2}(x_{1}-x'_{1})[/mm]
dividiere nun mit [mm]\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})[/mm] und erhalte
[mm]x_{1}+x'_{1}=\bruch{a}{b}(x_{1}-x'_{1})+2x_{2}[/mm]
stelle nun nach [mm]x'_{1}[/mm] um und erhalte
[mm] x'_{1}=\bruch{(\bruch{a}{b}-1)x_{1}+2x_{2}}{1+\bruch{a}{b}} [/mm]
erweitere die einzelnen Terme mit b und erhalte
[mm] x'_{1}=\bruch{\bruch{a-b}{b}x_{1}+\bruch{2bx_{2}}{b}}{\bruch{a+b}{b}}= \bruch{(a-b)x_{1}+2bx_{2}}{a+b} [/mm]
und somit
[mm] x'_{1}=\bruch{ax_{1}+b(2x_{2}-x_{1})}{a+b}[/mm]
das stimmt nun mit der Lösung vom Lehrer überein ...
Frage: Kann man die Gleichungen dann doch dividieren (II : I)?
LG
Olli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Gleichungen kann man durchaus "dividieren":
Sei
(1) A=B
und
(2) a=b.
Ist a [mm] \ne [/mm] 0, so ist
[mm] \bruch{A}{a}=\bruch{B}{a}=\bruch{B}{b}
[/mm]
FRED
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