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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Ungleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Stellen Sie für Ungleichungen die Lösungsmenge jeweils graphisch auf der Zahlengerade dar.
2 x² - 12x + 2 [mm] \le [/mm] 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Prinzip habe ich die Aufgabe gelöst, allerdings irritiert mich folgender Sachverhalt:
2x²-12x+2 [mm] \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x²-12x [mm] \le [/mm] -2
[mm] \Rightarrow [/mm] x²-6x +9 [mm] \le [/mm] -1 +9 (Quadratische Ergänzung)
[mm] \Rightarrow [/mm] x²-6x +9 [mm] \le [/mm] 8
[mm] \Rightarrow [/mm] (x-3)² [mm] \le [/mm] 8 [mm] \wurzel{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \left| x-3 \right|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left| x-3 \right| \le \wurzel{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left| x-3 \right| \le [/mm] 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left| x \right| \le [/mm] 2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] +3
[mm] x_{1} \le [/mm] 3 + 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{2} \le [/mm] 3 - 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Also, laut diesem Ergebnis ist doch der Zahlenstrahl im Bereich von:
3 - 2 * [mm] \wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 + 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Oder irre ich mich hier?
Ein Kommilitone meinte, dass wegen den [mm] \le [/mm] bei [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] der Zahlenbereich eben nur bis 3 - 2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] geht (von - [mm] \infty), [/mm] was natürlich Sinn macht wenn man sich den Zahlenstrahl so aufmalt.
Gebe ich aber Probehalber meine Ergebnisse größer/kleiner als [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] an, stimmt die Ungleichung, seine Aussage aber nicht.
Liegt es einfach nur daran, dass ich das falsch aufgeschrieben habe? Mir munkelt, dass ich den Betrag noch irgendwie miteinbeziehen muss...
Auch wenn ich mir die Parabel skizziere, dann erscheint logisch, dass nur Werte zw.(mit) den Nullstellen kleiner als Null sind.
Irgendwie hat mich mein Kommilitone verwirrt, aber ich kann ihn auch nicht vom Gegenteil überzeugen. Würde mich sehr freuen, wenn sich das jemand anschaut. Ist glaube ich eher Vorhochschulmathe ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Do 25.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Lösen Sie die folgende Ungleichung mit Hilfe der
> quadratischen Ergänzung. Stellen Sie für Ungleichungen
> die Lösungsmenge jeweils graphisch auf der Zahlengerade
> dar.
>
> 2 x² - 12x + 2 [mm]\le[/mm] 0
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Im Prinzip habe ich die Aufgabe gelöst, allerdings
> irritiert mich folgender Sachverhalt:
>
> 2x²-12x+2 [mm]\le[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2x²-12x [mm]\le[/mm] -2
> [mm]\Rightarrow[/mm] x²-6x +9 [mm]\le[/mm] -1 +9 (Quadratische Ergänzung)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x²-6x +9 [mm]\le[/mm] 8
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x-3)² [mm]\le[/mm] 8 [mm]\wurzel{(x-3)^2}[/mm] = [mm]\left| x-3 \right|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left| x-3 \right| \le \wurzel{8}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \left| x-3 \right| \le[/mm]
> 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
Bis hier hin ist noch alles korrekt. Nun ist aber eine Fallunterscheidung vorzunehmen, denn abhängig davon, ob eine Zahl positiv oder negativ ist, ist deren Betrag ja unterschiedlich definiert. Prüfe also den Fall [mm] x-3\ge0 [/mm] separat von x-3<0 und beachte dabei, dass sich das Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit -1 umkehrt. Dies hast du unten nicht bedacht.
> [mm]\Rightarrow \left| x \right| \le[/mm] 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm] +3
Es ist i.A. [mm] |x-3|\not=|x|-3 [/mm] (Beispiel)
> [mm]x_{1} \le[/mm] 3 + 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
> [mm]x_{2} \le[/mm] 3 - 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
Unabhängig von der Richtigkeit dieser Aussagen, deutet die Schreibweise mit [mm] x_1,2 [/mm] , wie man sie in der Schule kennen lernt an, dass um die Gleichung zu lösen gelten muss, dass [mm] x=x_1 [/mm] oder [mm] x=x_2 [/mm] . Mache dir klar, dass bei dieser Ungleichung unbedingt beides gelten muss!
> Also, laut diesem Ergebnis ist doch der Zahlenstrahl im
> Bereich von:
> 3 - 2 * [mm]\wurzel{2} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3 + 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
Dies ist korrekt, stimmt aber nicht mit obigen Aussagen überein.
> Oder irre ich mich hier?
>
> Ein Kommilitone meinte, dass wegen den [mm]\le[/mm] bei [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] der Zahlenbereich eben nur bis 3 - 2 * [mm]\wurzel{2}[/mm]
> geht (von - [mm]\infty),[/mm] was natürlich Sinn macht wenn man
> sich den Zahlenstrahl so aufmalt.
>
> Gebe ich aber Probehalber meine Ergebnisse größer/kleiner
> als [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] an, stimmt die Ungleichung, seine
> Aussage aber nicht.
>
> Liegt es einfach nur daran, dass ich das falsch
> aufgeschrieben habe? Mir munkelt, dass ich den Betrag noch
> irgendwie miteinbeziehen muss...
>
> Auch wenn ich mir die Parabel skizziere, dann erscheint
> logisch, dass nur Werte zw.(mit) den Nullstellen kleiner
> als Null sind.
>
> Irgendwie hat mich mein Kommilitone verwirrt, aber ich kann
> ihn auch nicht vom Gegenteil überzeugen. Würde mich sehr
> freuen, wenn sich das jemand anschaut. Ist glaube ich eher
> Vorhochschulmathe ;)
Auch wenn dein Ergebnis - wie du dir anhand einfacher Überlegungen bereits klargemacht hast - stimmt, hast du trotzdem einige Ungenauigkeiten bei den Beträgen eingebaut.
Viele Grüße
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Haja klar!
Oh man, mein Mathe ist ein bisschen eingerostet, tut mir Leid!
Aber dank deiner Hilfe bin ich drauf gekommen! Im Prinzip lag es echt "nur" an den Beträgen und der Fallunterscheidung.
[mm] \Rightarrow \left| x-3 \right| \le [/mm] 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Zur Vereinfachung schreibe ich [mm] \wurzel{8} [/mm] :
[mm] \gdw \left| x-3 \right| \le \wurzel{8} \wedge [/mm] x-3 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \vee \left| x-3 \right| \le \wurzel{8} \wedge [/mm] x-3 < 0
[mm] \gdw [/mm] x-3 [mm] \le \wurzel{8} \wedge [/mm] x-3 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \vee [/mm] 3-x [mm] \le \wurzel{8} \wedge [/mm] x-3 < 0
1. x [mm] \le [/mm] 3 + 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
2. -x [mm] \le [/mm] -3 2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] | *(-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 3 - 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Also: 3 - 2 * [mm] \wurzel{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 + 2 * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
q.e.d.
Und Zahlenstrahl dürfte klar sein ;)
Vielen Dank!
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