Lösen des Gleichungssystems < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | $A,B,X$ seien komplexe Matrizen. Lösen Sie die komplexe Matrizengleichung $AX = B$ mit
$A = [mm] \pmat{ 2+i & 1 \\ 1-i & 1+i }$ [/mm] und $B = [mm] \pmat{ 1+i \\ 1-i }$
[/mm]
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Hallo!
Ich komme einfach auf keine Lösung! Kann mir da mal jemand sagen was ich falsch mache? Auf folgendes komme ich:
1. [mm] $(2+i)x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i$
2. [mm] $(1-i)x_1 [/mm] + [mm] (1+i)x_2 [/mm] = 1-i$
1. mal [mm] $\frac{1}{1-i}$ [/mm] und umstellen nach [mm] $x_1 \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] 1+ix_2$
[/mm]
In 2. einsetzen [mm] $\Rightarrow [/mm] (2+i)(1+i [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2+i+(2+i)i [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i $
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2+i [mm] +(-1+2i)x_2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i$
[mm] $\Rightarrow (-1+2i)x_2 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = -1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2i [mm] x_2 [/mm] = -1$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_1 [/mm] = 1 + i [mm] \frac{(-1)}{2i} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Die Lösung lautet aber leider:
$X = [mm] \frac{1}{4} \pmat{ 3+i \\ -1-i }$
[/mm]
Vielen Dank schon mal und viele Grüße
~ pawlow
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> [mm]A,B,X[/mm] seien komplexe Matrizen. Lösen Sie die komplexe
> Matrizengleichung [mm]AX = B[/mm] mit
> [mm]A = \pmat{ 2+i & 1 \\ 1-i & 1+i }[/mm] und [mm]B = \pmat{ 1+i \\ 1-i }[/mm]
>
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> Hallo!
>
> Ich komme einfach auf keine Lösung! Kann mir da mal jemand
> sagen was ich falsch mache? Auf folgendes komme ich:
>
> 1. [mm](2+i)x_1 + x_2 = 1+i[/mm]
> 2. [mm](1-i)x_1 + (1+i)x_2 = 1-i[/mm]
>
> 1. mal [mm]\frac{1}{1-i}[/mm] und umstellen nach [mm]x_1 \Rightarrow x_1 = 1+ix_2[/mm]
Hallo,
mir scheint, daß Dir gleich hier ein Rechenfehler unterlaufen ist. Rechne das doch nochmal nach und ggf. vor.
Die erste Gleichung würde man eigentlich ja auch lieber nach [mm] x_2 [/mm] auflösen - fürs Ergebnis sollte das alerdings keine Unterschied machen.
Dir ist aber klar, daß Du solche Aufgaben mit dem Gaußalgorithmus lösen kannst, oder?
Gruß v. Angela
>
> In 2. einsetzen [mm]\Rightarrow (2+i)(1+i x_2) + x_2 = 1+i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2+i+(2+i)i x_2 + x_2 = 1+i[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2+i +(-1+2i)x_2 + x_2 = 1+i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (-1+2i)x_2 + x_2 = -1[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2i x_2 = -1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1 = 1 + i \frac{(-1)}{2i} = \frac{1}{2}[/mm]
>
> Die Lösung lautet aber leider:
> [mm]X = \frac{1}{4} \pmat{ 3+i \\ -1-i }[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße
> ~ pawlow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
> 1. $ [mm] (2+i)x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i $
> 2. $ [mm] (1-i)x_1 [/mm] + [mm] (1+i)x_2 [/mm] = 1-i $
Ich habe mich natürlich vertan!
> > 1. mal [mm]\frac{1}{1-i}[/mm] und umstellen nach [mm]x_1 \Rightarrow x_1 = 1+ix_2[/mm]
Ich meine 2.!
> > In 2. einsetzen [mm]\Rightarrow (2+i)(1+i x_2) + x_2 = 1+i[/mm]
Und hier natürlich dann 1.!
Hmm, ich bin vermutlich mit Blindheit geschlagen, aber ich kann weiter keinen Fehler entdecken. Gerade beim ersten Schritt kürzen sich die 2 $(1-i)$ weg und [mm] $\frac{1+i}{1-i} [/mm] = i$, daher fogt aus der 2. Gleichung: [mm] $x_1 [/mm] = [mm] 1+ix_2$.
[/mm]
Dies verwende ich dann in der 1. Gleichung:
$(2+i)(1+i [mm] x_2) [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1+i $
Und die Umformung ergibt dann das oben angegebene Ergebnis, das mit der offiziellen Lösung eben so gar nich übereinstimmt!
Danke trotzdem und entschuldige den Patzer...
~ pawlow
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> > 1. [mm](2+i)x_1 + x_2 = 1+i[/mm]
> > 2. [mm](1-i)x_1 + (1+i)x_2 = 1-i[/mm]
>
> Ich habe mich natürlich vertan!
> > > 1. mal [mm]\frac{1}{1-i}[/mm] und umstellen nach [mm]x_1 \Rightarrow x_1 = 1+ix_2[/mm]
>
> Ich meine 2.!
Hallo,
achso.
Dann nehmen wir halt einen anderen Fehler: ich bekomme [mm] x_1 [/mm] = [mm] 1-ix_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> > > In 2. einsetzen [mm]\Rightarrow (2+i)(1+i x_2) + x_2 = 1+i[/mm]
>
> Und hier natürlich dann 1.!
>
>
> Hmm, ich bin vermutlich mit Blindheit geschlagen, aber ich
> kann weiter keinen Fehler entdecken. Gerade beim ersten
> Schritt kürzen sich die 2 [mm](1-i)[/mm] weg und [mm]\frac{1+i}{1-i} = i[/mm],
> daher fogt aus der 2. Gleichung: [mm]x_1 = 1+ix_2[/mm].
>
> Dies verwende ich dann in der 1. Gleichung:
> [mm](2+i)(1+i x_2) + x_2 = 1+i[/mm]
>
> Und die Umformung ergibt dann das oben angegebene Ergebnis,
> das mit der offiziellen Lösung eben so gar nich
> übereinstimmt!
>
> Danke trotzdem und entschuldige den Patzer...
> ~ pawlow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
> > > 1. [mm](2+i)x_1 + x_2 = 1+i[/mm]
> > > 2. [mm](1-i)x_1 + (1+i)x_2 = 1-i[/mm]
> >
> > Ich habe mich natürlich vertan!
> > > > 1. mal [mm]\frac{1}{1-i}[/mm] und umstellen nach [mm]x_1 \Rightarrow x_1 = 1+ix_2[/mm]
>
> >
> > Ich meine 2.!
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> Hallo,
>
> achso.
>
> Dann nehmen wir halt einen anderen Fehler: ich bekomme [mm]x_1[/mm]
> = [mm]1-ix_2.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Oh Mann! SCH**ßE!!! #$%&(/?²%#
Und dennoch, ich komme nicht darauf und es ist wahrscheinlich sooo einfach!!!!!
[mm] $x_1 [/mm] = 1 - [mm] ix_2$ [/mm] einsetzten...:
[mm] $(2+i)(1-ix_2)+(1+i)x_2 [/mm] = 1-i$
[mm] $2-2ix_2+i+x_2+x_2+ix_2 [/mm] = 1-i$
[mm] $x_2(2-i) [/mm] = -1-2i$
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \frac{2-i}{1+2i}$
[/mm]
und eben das kann ich schon wieder ohne Taschenrechner nicht ausrechnen und es ist nicht das Ergebnis. Also echt, ich weiss gleich nicht mehr ein noch aus... wenn das so weiter geht brauch ich gar nicht hin zur Prüfung.
Trotzdem herzlichen Dank!
~ pawlow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 11.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{2-i}{1+2i} [/mm] $ mit 1-2i erweitern!
ergibt [mm] x_2=\frac{(2-i)*(1+2i}{5}
[/mm]
Dazu braucht man keinen TR.
Nochmal: nie teilen, immer erweitern und dran denken [mm] a*\overline a=|a|^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
HA! Jetzt hab ichs und ja du hattest recht, meine 2. Zeile des LGS war falsch.
Allen nochmals DANKE!!! Und entschuldigt, dass ich euch hier mit meinen Fehlern so derart zuschütte... ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Liebe Grüße (und bis bald :)
~ pawlow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Ach so und mit dem Gaußschen Eleminierungsverfahren ist auch nicht viel geholfen...
[mm] $\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 1-i & 1+i & | & 1-i} \Rightarrow \pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 3 & 2+i & | & 2}$
[/mm]
Jetzt müsste ich die II. mal (2+i) minus die I. mal 3 nehmen. Dann steht da
[mm] $\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 0 & (2+i)^2-3 & | & 3+i}$
[/mm]
Hm, okay [mm] $(2+i)^2 [/mm] = 3+ 4i$ und demzufolge [mm] $\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 0 & 4i & | & 3+i}$ [/mm] und dann heißt das:
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \frac{3+i}{4i}$ [/mm]
Und hier würde ich gerne noch Teilen, kann aber den Winkel für $3+i$ nicht ermitteln, weder über [mm] $\sin\phi [/mm] = [mm] \frac{y}{r}$ [/mm] noch durch [mm] $\cos\phi [/mm] = [mm] \frac{x}{r}$ [/mm] oder [mm] $\tan\phi [/mm] = [mm] \frac{y}{x}$. [/mm] r steht für den Betrag. Keiner der Werte ist in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen zu finden und einen Taschenrechner darf ich nicht benutzen und daher schließe ich: schon wieder falsch!
*FRUST*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 11.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ach so und mit dem Gaußschen Eleminierungsverfahren ist
> auch nicht viel geholfen...
>
> [mm]\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 1-i & 1+i & | & 1-i} \Rightarrow \pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 3 & 2+i & | & 2}[/mm]
>
> Jetzt müsste ich die II. mal (2+i) minus die I. mal 3
> nehmen. Dann steht da
> [mm]\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 0 & (2+i)^2-3 & | & 3+i}[/mm]
ich komme auf ne andere 2te Zeile am Ende 1-i statt 3+i
> Hm, okay [mm](2+i)^2 = 3+ 4i[/mm] und demzufolge [mm]\pmat{2+i & 1 & | & 1+i \\ 0 & 4i & | & 3+i}[/mm]
> und dann heißt das:
> [mm]x_2 = \frac{3+i}{4i}[/mm]
Man sollte NIE teilen, sondern immer mit dem konj. komplexen des nenners erweitern. hier also mit -4i
dann haettest du (falls es richtig waere: 1/16*(4-12i)
ausserdem hast du ja die Verbesserung deines ersten Loesungs versuchs.(warum bist du darauf nicht eingegangen?)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Danke!!!
(warum bist du darauf nicht
> eingegangen?)
Weil ich da gerade noch die andere Frage geschrieben habe, auf die du geantwortet hast. Außerdem wäre ich glücklich, wenn ich auf beiden Wegen zu Ziel fände.
Liebe Grüße
~ pawlow
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Pawlow,
da die Matrix A invertierbar ist (Det A = 4i [mm] \not= [/mm] 0) kannst du dich auch so retten:
[mm] X=A^{-1}*B
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Mi 11.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Danke Herby!!! auch diesen weg werde ich ausprobieren, wenn ich mit den anderen zu einem glücklichen Ende gekommen bin...
Liebe Grüße
~ pawlow
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