Lösen der Riccatischen Diffgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mo 29.06.2009 | | Autor: | hust86 |
| Aufgabe | Lösen sie folgende Differentialgleichung:
[mm] y´+2*(1-1/x)*y-1/x*y^2=x-1
[/mm]
|
Bin dankbar für jede Hilfe. Wäre echt dringend.
hätte versucht eine Rückführung auf eine Bernoulli hat aber nicht geklappt.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mo 29.06.2009 | | Autor: | hust86 |
das erste y sollte ein y´sein
|
|
|
| |
|
Hallo hust86 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Lösen sie folgende Differentialgleichung:
>
> [mm] $y'+2\cdot{}\left(1-\frac{1}{x}\right)\cdot{}y-\frac{1}{x}\cdot{}y^2=x-1$
[/mm]
>
>
> Bin dankbar für jede Hilfe. Wäre echt dringend.
>
> hätte versucht eine Rückführung auf eine Bernoulli hat aber
> nicht geklappt.
Nun, wir sind sehr an deinen Versuchen interessiert, wir lösen hier keine Übungsaufgaben ...
Ein Hinweis: Eine spezielle Lösung lässt sich recht schnell raten mit $y=x$.
Setze das mal ein und du siehst, dass $y=x$ die Dgl. löst.
Damit transformiere nun die Dgl. in eine Bernoulli-Dgl. ...
Wie das geht, sollte in deinem Skript stehen, ansonsten auf Wikipedia.
Also starte einen Versuch und poste deine Ansätze ...
>
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mo 29.06.2009 | | Autor: | hust86 |
Danke für die hilfe!
so glaub ich gehts mit der Rückführung auf eine Bernoulli!
für die bernoulli Gleichung hab ich dann [mm] z'=(z^2)/x [/mm] herausbekommen
und durch die weitere Substitution: v'=-1/x
durch integrieren und Rücksubstituieren komm ich auf die LSG:
y(x)=x-1/(ln(x)+c)
Gestern versuchte ich dies ebenfalls mit dem ansatz yp=a/x+b*x
durch ableiten und einsetzen hab ich auch für a=0 und b=1 also y=x herausbekommenaber ich glaube dabei hab ich das einsetzen falsch gemacht!
Kann mir jemand sagen ob dies so stimmt?
Bin echt froh um eure Hilfe! Dankeschön
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke für die hilfe!
>
> so glaub ich gehts mit der Rückführung auf eine Bernoulli!
>
> für die bernoulli Gleichung hab ich dann [mm]z'=(z^2)/x[/mm]
> herausbekommen
Hmm, ich erhalte da für die Bernoulli-dgl. [mm] $z'(x)=\frac{2}{x}\cdot{}z(x)+\frac{1}{x}\cdot{}\left(z(x)\right)^2$
[/mm]
Vllt. postest du mal deine Rechnung, dann kann man sehen, ob und wenn ja, wo du evtl. einen Fehler gemacht hast ...
> und durch die weitere Substitution: v'=-1/x
> durch integrieren und Rücksubstituieren komm ich auf die
> LSG:
>
>
> y(x)=x-1/(ln(x)+c)
>
> Gestern versuchte ich dies ebenfalls mit dem ansatz
> yp=a/x+b*x
> durch ableiten und einsetzen hab ich auch für a=0 und b=1
> also y=x herausbekommenaber ich glaube dabei hab ich das
> einsetzen falsch gemacht!
>
> Kann mir jemand sagen ob dies so stimmt?
>
> Bin echt froh um eure Hilfe! Dankeschön
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 29.06.2009 | | Autor: | hust86 |
Habs nochmal nach gerechnet! komme auf das selbe ergebnis! [mm] z'-2z/x=1/x*z^2
[/mm]
Hab das 2z/x beim zusammenfassen vergessen.
Danach hab ich die funktion mit [mm] -1/z^2 [/mm] multipliziert und
wie folgt substituiert:
v=1/z und [mm] v'=-z'/z^2
[/mm]
Damit komme ich auf: v'+2/x*v=-1/x
das habe ich mittels Trennung der Veränderlichen gelöst:
[mm] v(x)=1/(2*x^2)-1/2+c
[/mm]
durch Rücksubstituieren bekomme ich dann folgende LSG:
[mm] y(x)=x+1/(1/(2*x^2)-1/2+c)
[/mm]
Stimmt das soweit? Darf ich die Konstante einfach umbenennen in k und hinten anschreiben? Damit dann die funktion so aussieht:
[mm] y(x)=x-(2*x^2)/(x^2-1)+k
[/mm]
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 30.06.2009 | | Autor: | hust86 |
Kann mir jemand sagen ob mein letzter ansatz soweit richtig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Di 30.06.2009 | | Autor: | hust86 |
So weit so gut!
Hab aber nach dem integrieren folgendes:
1/2*ln(2*v+1)=-ln(x)+c
und durch umformen ln(2*v+1)=-2*ln(x) +2*c
anschließend noch den ln wegbringen
[mm] 2*v+1=(e^{2*c})/x^2
[/mm]
hab eh nen kleinen Fehler gefunden
meine neue LSG: [mm] y=x+(2*x^2)/(k-x^2)
[/mm]
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
und
