Lösen der Gleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 09.06.2013 | | Autor: | sMaus |
| Aufgabe | | Es sei [mm] A=\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 7 & 3 & 4 & 7 & 10 & 2 }. [/mm] Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes U:= {x Element aus [mm] R^6 [/mm] | A x = [mm] \vec0} [/mm] und lösen Sie das homogene Gleichungssystem A x = [mm] \vec0. [/mm] |
Für die Dimension erhalte ich 4. Ist es richtig, wenn ich behaupte: x= (1, -1,3 -2, 0, -1)? Dabei setze ich einfach beliebig x1= 1 x2=-1 x3= 3 und x4= -2 und erhalte am Ende für x5= 0 und x6= -1... Darf man das denn?
|
|
| |
|
Hallo,
> Es sei
[mm] A=\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 7 & 3 & 4 & 7 & 10 & 2 }
[/mm]
> Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes ...
> Für die Dimension erhalte ich 4.
Das ist aber nicht richtig, rechne nochmal nach.
> Ist es richtig, wenn ich
> behaupte: x= (1, -1,3 -2, 0, -1)? Dabei setze ich einfach
> beliebig x1= 1 x2=-1 x3= 3 und x4= -2 und erhalte am Ende
> für x5= 0 und x6= -1... Darf man das denn?
Nein, das darf man nicht. Die Lösungsmenge ist in Abhängigkeit von Parametern anzugeben, und das müssen exakt so viele sein wie die Anzahl der Dimensionen des Lösungsraumes.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 09.06.2013 | | Autor: | sMaus |
die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
dim (v)= 6
rg (A)= 2 , da : [mm] \pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & -2 & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
somit ist doch dim (L) = 6-2 =4
Danach setze ich für x1= [mm] 1\lambda [/mm] x2= [mm] -1\lambda [/mm] x3= [mm] 3\lambda
[/mm]
x4= [mm] -2\lambda [/mm] und erhalte damit x5= [mm] 0\lambda [/mm] und x6= [mm] -1\lambda. [/mm] Daraus folgt x=(1,-1,3,-2,0,-1).
In der Dimensionsrechnung komme ich irgendwie nicht auf mein Fehler drauf.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
> dim (v)= 6
> rg (A)= 2 , da : [mm]\pmat{ 5 & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & -2 & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> somit ist doch dim (L) = 6-2 =4
So macht das keinen Sinn. Du musst schon deine einzelnen Rechenschritte mit angeben. Wie gesgt: ich erhalte zwei Nullzeilen...
EDIT: sorry, ich hatte mich verrechnet. Dim(U)=4 ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danach setze ich für x1= [mm]1\lambda[/mm] x2= [mm]-1\lambda[/mm] x3=
> [mm]3\lambda[/mm]
> x4= [mm]-2\lambda[/mm] und erhalte damit x5= [mm]0\lambda[/mm] und x6=
> [mm]-1\lambda.[/mm] Daraus folgt x=(1,-1,3,-2,0,-1).
>
Es müssten vier unterschiedliche Parameter sein.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> die Formel lautet dim (L) = dim (V) - rg (A) .
> dim (v)= 6
> rg (A)= 2 , da : [mm]\pmat{ \red{ 5} & 5 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & \red{-2} & 0,6 & 1,4 & 2,2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> somit ist doch dim (L) = 6-2 =4
Hallo,
mal kochrezeptartig, anzuwenden für alle ähnlichen Gerichte:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2.
Daher kann man die 3.,4.,5.,6.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_6:=u
[/mm]
[mm] x_5:=t
[/mm]
[mm] x_4:=s
[/mm]
[mm] x_3:=r
[/mm]
erhält man aus Zeile 2
[mm] -2x_2+0.6x_3+1.4x_4+2.2x_5+x_6=0 [/mm] <==>
[mm] x_2=0.3x_3+0.7x_4+1.1x_5+0.5x_6=0.3r+0.7s+1.1t+0.5u,
[/mm]
und aus Zeile 1
[mm] 5x_1+5x_2+2x_3+3x_4+4x_5=0 [/mm] <==>
[mm] x_1=-x_2-0.4x_3-0.6x_4-0.8x_5=-0.7r-1.3s-1.9t-0.5u
[/mm]
Also haben alle Lösungen x die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{-0.7r-1.3s-1.9t-0.5u\\0.3r+0.7s+1.1t+0.5u\\r\\s\\t\\u}=r*\vektor{-0.7\\0\\1\\0\\0\\0}+s*\vektor{\vdots}+t*\vektor{\vdots}+u*\vektor{\vdots}.
[/mm]
Die vier Vektoren sind eine Basis des Lösungsraumes von Ax=0.
(Rechenfehler nicht ausgeschlossen, das Prinzip zählt!)
LG Angela
|
|
|
|
