Lösen der Gleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung!
[mm] x^{3+lgx}=x^{4} [/mm] |
Hallo ihr Mathefüchse!
Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp oder einen Ansatz liefern, wie diese Gleichung zu lösen ist oder welches Gesetz ich anwenden muss?
Danke!
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> Lösen Sie die Gleichung!
> [mm]x^{3+lgx}=x^{4}[/mm]
> Hallo ihr Mathefüchse!
>
> Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp oder einen Ansatz
> liefern, wie diese Gleichung zu lösen ist oder welches
> Gesetz ich anwenden muss?
Ich nehme an, dass [mm] $\lg$ [/mm] der Logarithmus zur Basis $10$ ist. Definitionsbereich der Gleichung ist [mm] $\IR^{+}$.
[/mm]
1. Lösungsweg:
[mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(1000x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & \lg(1000x) &=& 4
\end{array}[/mm]
die letzte Gleichung kannst Du vermutlich selbst auflösen.
2. Lösungsweg:
[mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^3\cdot x^{\lg(x)} &=& x^4 &\Big|\div x^3,\neq 0\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(x)} &=& x^1
\end{array}[/mm]
und auch in diesem Falle wirst Du die letzte Gleichung vermutlich selbst auflösen können.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:12 Do 28.08.2008 | | Autor: | abakus |
> > Lösen Sie die Gleichung!
> > [mm]x^{3+lgx}=x^{4}[/mm]
> > Hallo ihr Mathefüchse!
> >
> > Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp oder einen Ansatz
> > liefern, wie diese Gleichung zu lösen ist oder welches
> > Gesetz ich anwenden muss?
>
> Ich nehme an, dass [mm]\lg[/mm] der Logarithmus zur Basis [mm]10[/mm] ist.
> Definitionsbereich der Gleichung ist [mm]\IR^{+}[/mm].
>
> 1. Lösungsweg:
> [mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(1000x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & \lg(1000x) &=& 4
\end{array}[/mm]
>
> die letzte Gleichung kannst Du vermutlich selbst auflösen.
>
> 2. Lösungsweg:
> [mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^3\cdot x^{\lg(x)} &=& x^4 &\Big|\div x^3,\neq 0\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(x)} &=& x^1
\end{array}[/mm]
>
> und auch in diesem Falle wirst Du die letzte Gleichung
> vermutlich selbst auflösen können.
>
Hallo, der Lösungsweg bzw. die Lösung ist unvollständig.
Zwei Potenzen [mm] (x^{3+lgx} [/mm] und [mm] x^{4}) [/mm] sind gleich, wenn sie
- bei gleicher Basis (ist hier gegeben) auch den gleichen Exponenten haben (also 3+lgx=4; lgx=1; x=10)
ODER
- bei der Basis 1 beliebige Exponenten haben!!!
Dieser Fall wurde nicht beachtet.
x=1 ist die zweite Lösung, denn eine Probe damit führt auf die wahre Aussage 1=1.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:30 Do 28.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > Lösen Sie die Gleichung!
> > > [mm]x^{3+lgx}=x^{4}[/mm]
> > > Hallo ihr Mathefüchse!
> > >
> > > Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp oder einen Ansatz
> > > liefern, wie diese Gleichung zu lösen ist oder welches
> > > Gesetz ich anwenden muss?
> >
> > Ich nehme an, dass [mm]\lg[/mm] der Logarithmus zur Basis [mm]10[/mm] ist.
> > Definitionsbereich der Gleichung ist [mm]\IR^{+}[/mm].
> >
> > 1. Lösungsweg:
> > [mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(1000x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & \lg(1000x) &=& 4
\end{array}[/mm]
>
> >
> > die letzte Gleichung kannst Du vermutlich selbst auflösen.
> >
> > 2. Lösungsweg:
> > [mm]\begin{array}{clcll}
&x^{3+\lg(x)} &=& x^4\\
\Leftrightarrow & x^3\cdot x^{\lg(x)} &=& x^4 &\Big|\div x^3,\neq 0\\
\Leftrightarrow & x^{\lg(x)} &=& x^1
\end{array}[/mm]
>
> >
> > und auch in diesem Falle wirst Du die letzte Gleichung
> > vermutlich selbst auflösen können.
> >
> Hallo, der Lösungsweg bzw. die Lösung ist unvollständig.
>
> Zwei Potenzen [mm](x^{3+lgx}[/mm] und [mm]x^{4})[/mm] sind gleich, wenn sie
> - bei gleicher Basis (ist hier gegeben) auch den gleichen
> Exponenten haben (also 3+lgx=4; lgx=1; x=10)
> ODER
> - bei der Basis 1 beliebige Exponenten haben!!!
> Dieser Fall wurde nicht beachtet.
> x=1 ist die zweite Lösung, denn eine Probe damit führt auf
> die wahre Aussage 1=1.
Stimmt: Beim ersten Lösungsweg habe ich diesen Fall kurzerhand unter den Tisch fallen lassen. Das heisst, beim Versuch, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis $x$ beidseitig auf die Gleichung anzuwenden, hätte ich mir noch die Frage stellen müssen, ob es für alle $x$ im Defintionsbereich [mm] $\IR^{+}$ [/mm] der Gleichung auch tatsächlich eine solche Umkehrfunktion (nämlich [mm] $\log_x$) [/mm] gibt; was, wie Du richtig feststellst, für $x=1$ nicht der Fall ist.
Beim zweiten Lösungsweg ist diese Möglichkeit, $x=1$, aber noch in der Lösungsmenge der letzten Gleichung enthalten. Hätte ich den ersten Lösungsweg einen Schritt weniger weit ausgeführt, hätte ich diesen Einwand vermeiden können 
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