Lösbarkeit von x^2+3y^2=p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es existiert eine Untergrupp H [mm] \subseteq (\IZ/12\IZ)^{\times} [/mm] so, dass für alle
Primzahlen p [mm] \not= [/mm] 2, 3 die Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung [mm] x^2+3y^2 [/mm] = p äquivalent zu (p mod 12) [mm] \in [/mm] H ist. Finden Sie H explizit und prüfen Sie,
welche der ersten 50 Primzahlen die angegebene Bedingung erfüllt. Die gefragte
Lösbarkeit kann durch ein Zerfällungsverhalten beschrieben werden,
und sie werden das quadratische Reziprozitätsgesetz brauchen. |
Hallo Leute,
es gilt ja bekanntlich [mm] (\IZ/12\IZ)^{\times} [/mm] = [mm] \{1,5,7,11\} [/mm] und durch etwas überlegen bin ich darauf gekommen, dass die Untergruppen von [mm] (\IZ/12\IZ)^{\times} [/mm] gerade [mm] \{1\}, \{1,5\}, \{1,7\}, \{1,11\}, \{1,5,7,11\} [/mm] sind.
Jetzt müsste ich also die Untergruppe finden, sodass die Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung [mm] x^2+3y^2 [/mm] = p äquivalent zu (p mod 12) [mm] \in [/mm] H ist.
Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich das anstellen soll. Mit der "Anleitung" in der Aufgabe kann ich bisher leider nicht viel anfangen.
Ich könnte jetzt in [mm] \IZ[\wurzel(-3)] [/mm] schreiben: [mm] p=x^2+3y^2=(x+\wurzel(-3)y)(x-\wurzel(-3)y), [/mm] aber sehe nicht, was mir das bringen sollte.
Muss die Aufgabe nicht abgeben, aber es würde mich dennoch sehr interessieren, wie das hier funktionieren soll.
Hoffe auf zahlreiche Hilfestellungen 
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es existiert eine Untergrupp H [mm]\subseteq (\IZ/12\IZ)^{\times}[/mm]
> so, dass für alle
> Primzahlen p [mm]\not=[/mm] 2, 3 die Lösbarkeit der Diophantischen
> Gleichung [mm]x^2+3y^2[/mm] = p äquivalent zu (p mod 12) [mm]\in[/mm] H ist.
> Finden Sie H explizit und prüfen Sie,
> welche der ersten 50 Primzahlen die angegebene Bedingung
> erfüllt. Die gefragte
> Lösbarkeit kann durch ein Zerfällungsverhalten
> beschrieben werden,
> und sie werden das quadratische Reziprozitätsgesetz
> brauchen.
>
> es gilt ja bekanntlich [mm](\IZ/12\IZ)^{\times}[/mm] = [mm]\{1,5,7,11\}[/mm]
> und durch etwas überlegen bin ich darauf gekommen, dass
> die Untergruppen von [mm](\IZ/12\IZ)^{\times}[/mm] gerade [mm]\{1\}, \{1,5\}, \{1,7\}, \{1,11\}, \{1,5,7,11\}[/mm]
> sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt müsste ich also die Untergruppe finden, sodass die
> Lösbarkeit der Diophantischen Gleichung [mm]x^2+3y^2[/mm] = p
> äquivalent zu (p mod 12) [mm]\in[/mm] H ist.
> Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich das anstellen
> soll. Mit der "Anleitung" in der Aufgabe kann ich bisher
> leider nicht viel anfangen.
Na, dann wollen wir das mal aendern
> Ich könnte jetzt in [mm]\IZ[\wurzel(-3)][/mm] schreiben:
> [mm]p=x^2+3y^2=(x+\wurzel(-3)y)(x-\wurzel(-3)y),[/mm] aber sehe
> nicht, was mir das bringen sollte.
Nun, wenn es solche $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt, dann ist $x + [mm] \sqrt{-3} [/mm] y [mm] \in \IZ[\sqrt{-3}]$ [/mm] ein irreduzibles Element, welches $p$ teilt. Genauer gesagt: die Primzahl $p [mm] \in \IZ$ [/mm] bleibt in [mm] $\IZ[\sqrt{-3}]$ [/mm] nicht irreduzibel, sondern laesst sich als das Produkt zweier irreduzibler Elemente schreiben.
Solche Elemente habt ihr offenbar schonmal charakterisiert. (Macht man normalerweise mit dem Legendre-Symbol.) Such mal heraus, wann genau das der Fall ist. Mit dem quadratischen Reziprokitaetsgesetz kannst du das vermutlich in eine Aussage ueber $(p/12)$ umwandeln, und dann bist du eigentlich schon fertig 
LG Felix
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Hallo Felix,
ein großes Dankeschön an deine wie immer hilfreiche Antwort
Wie sooft fehlte nur der Lenk in die richtige Richtung, habs jetzt denk ich gelöst, die passende Untergruppe müsste {1,7} sein.
Viele Grüße und noch einen schönen Abend.
Anfänger
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