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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Fr 18.01.2013 | | Autor: | zjay |
Satz 15.1 (Losbarkeitsentscheidung) Ein lineares Gleichungssystem
Ax = b ist genau dann losbar, wenn der Rang von A gleich dem Rang der
erweiterten Koezientenmatrix (A; b) ist.
Den Beweis dieses Satzes lasse ich jetzt aus. Im Skript gehts wie folgt weiter:
f: [mm] K^{n} \rightarrow K^{m}
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] Ax
Es gilt [mm] L=(A,b)=f^{-1}(b), [/mm] insbesondere L(A,0)=Ker f.
Meine Frage: der erste Teil "Es gilt [mm] L=(A,b)=f^{-1}(b)" [/mm] bedeutet doch, dass die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] : [mm] K^{m} \rightarrow K^{n} [/mm] von dem Argument b gleich der Lösungsmenge L(A,b) ist, oder? Irgendwie verstehe ich das noch, aber ein Beispiel hierzu wäre verständnisfördernd.
Das große Fragezeichen ist aber hier beim nachfolgenden Teil der Zeile: "insbesondere L(A,0)=Ker f". Ein Element k [mm] \in K^{n} [/mm] in Ker f eingesetzt ergibt 0. Das sehe ich ein, aber was hat das mit der Umkehrabbildung zu tun?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Satz 15.1 (Losbarkeitsentscheidung) Ein lineares
> Gleichungssystem
> Ax = b ist genau dann losbar, wenn der Rang von A gleich
> dem Rang der
> erweiterten Koezientenmatrix (A; b) ist.
>
> Den Beweis dieses Satzes lasse ich jetzt aus. Im Skript
> gehts wie folgt weiter:
>
> f: [mm]K^{n} \rightarrow K^{m}[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] Ax
>
>
> Es gilt [mm]L=(A,b)=f^{-1}(b),[/mm] insbesondere L(A,0)=Ker f.
>
> Meine Frage: der erste Teil "Es gilt [mm]L=(A,b)=f^{-1}(b)"[/mm]
> bedeutet doch, dass die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] : [mm]K^{m} \rightarrow K^{n}[/mm]
> von dem Argument b gleich der Lösungsmenge L(A,b) ist,
> oder? Irgendwie verstehe ich das noch, aber ein Beispiel
> hierzu wäre verständnisfördernd.
f muß keine Umkehrabb. haben !!
[mm] f^{-1}(b) [/mm] ist eine Abkürzende Schreibweise für die Menge
[mm] \{x \in K^n:f(x)=b\}
[/mm]
FRED
>
> Das große Fragezeichen ist aber hier beim nachfolgenden
> Teil der Zeile: "insbesondere L(A,0)=Ker f". Ein Element k
> [mm]\in K^{n}[/mm] in Ker f eingesetzt ergibt 0. Das sehe ich ein,
> aber was hat das mit der Umkehrabbildung zu tun?
>
> mfg,
>
> zjay
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