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| Aufgabe | | Bestimme [mm] $\#M_n$ [/mm] mit [mm] $M_n [/mm] := [mm] \{v\in\IN_0^m | a_1 v_1 + .... + a_m v_m = n\}$ [/mm] und [mm] $a_1,...,a_m\in\IN$ [/mm] |
Hallo Leute,
(zum Hintergrund)
ich will eine allgemeine Formel für die Anzahl von irreduziblen Polynomen über [mm] $\IF_2$ [/mm] von einem bestimmten Grad n>0 herleiten.
Mein Ansatz dabei ist die Polynome, die reduzibel sind, zur faktorisieren.
Ich beginne mit Grad 1: Da es [mm] 2^n [/mm] Polynome von Grad n>0 gibt , muss es 2 irreduzible Polynome vom Grad 1 geben,ich nenne sie jetzt [mm] p_1,p_2.
[/mm]
Grad 2: Es gibt [mm] 2^2 [/mm] = 4 Polynome von diesem Grad und da man mit dem Produkt von [mm] p_1^{v_1}*p_2^{v_2} [/mm] maximal 3 Polynome vom Grad 2 darstellen kann, muss es genau 4-3=1 irreduzibles Polynom geben, ich nenne es jetzt [mm] p_3
[/mm]
Grad 3: Es gibt [mm] 2^3 [/mm] = 8 Polynome von diesem Grad und da man mit dem Produkt von [mm] p_1^{v_1}*p_2^{v_2}*p^{v_3} [/mm] maximal 6 Polynome vom Grad 3 darstellen kann, muss es genau 8-6=2 irreduzible Polynome geben.
Und dann soll es so weiter gehen...
Wie man nun merkt, ergibt sich die Formel:
[mm] $\#\{\text{"irreduzible Poylnome vom Grad n"}\} [/mm]
= [mm] 2^n [/mm] - [mm] \#\{\text{"reduzible Polynome vom Grad n"}\}
[/mm]
= [mm] 2^n [/mm] - [mm] \# (f\in\IF_2[/mm] [t] | f = [mm] p_1^{v_1} [/mm] + [mm] p_2^{v_2} [/mm] + [mm] p_3^{v_3} [/mm] + [mm] p_4^{v_4} [/mm] ...+ [mm] p_m^{v_m})
[/mm]
= [mm] 2^n [/mm] - [mm] \# (v\in\IN_0^m [/mm] | n = [mm] deg(p_1)*v_1 [/mm] +...+ [mm] deg(p_m)*v_m)$
[/mm]
Hierbei ist m nun die Anzahl der ermittelten irreduziblem Polynome vom Grad kleiner n
(Nun zur Frage)
Um das nun aber allgemein zu lösen und nicht jedes mal alle Möglichkeiten durchzugehen, wollte ich wissen, wie man [mm] \#\{v\in\IN_0^m | a_1 v_1 + .... + a_m v_m = n\} [/mm] allgemein bestimmen kann.
Dabei hatte ich die Idee mir A als Zeilenvektor mit den Einträgen [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_m [/mm] zu definieren, das Problem Av=(n) zu betrachten und dann [mm] \#(Los(A,(n))) [/mm] zu bestimmen.
Ich komm aber leider nicht weiter.
Bitte um Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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