Ln- Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Morgen zusammen,
ich würd mich freuen, wenn ihr meine Ableitungen überprüfen könntet.
f(x)= [mm] ln(x^2)
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
g(x)= [mm] ln(\wurzel{x})
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
h(x)= (ln[x])^-2
h'(x)= [mm] (-\bruch{2}{lnx^2})^-3
[/mm]
i(x)= [mm] ln(1+3x^2)
[/mm]
i'(x)= [mm] \bruch{6x}{1+3x^2}
[/mm]
j(x)= [mm] 3ln(\wurzel{4x})
[/mm]
j'(x)= [mm] \bruch{6}{\wurzel{4x^2}}
[/mm]
j'(x)= [mm] \bruch{3}{x}
[/mm]
k(x)= [mm] ln(\bruch{x}{1+x})
[/mm]
k'(x)= [mm] \bruch{1+x}{x+x^3}
[/mm]
l(x)= [mm] ln(\wurzel[3]{x})
[/mm]
l'(x)= [mm] \bruch{1}{3\wurzel[3]{x^2}}
[/mm]
Danke schonmal im Vorraus!
|
|
| |
|
> Guten Morgen zusammen,
>
> ich würd mich freuen, wenn ihr meine Ableitungen überprüfen
> könntet.
Hallo,
>
> f(x)= [mm]ln(x^2)[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
Richtig.
>
> g(x)= [mm]ln(\wurzel{x})[/mm]
> g'(x)= [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
Richtig.
>
> h(x)= (ln[x])^-2
> h'(x)= [mm](-\bruch{2}{lnx^2})^-3[/mm]
Hier ist die äußere Funktion die Funktion [mm] f(x)=x^{-2}, [/mm] die innere g(x)=ln(x).
Versuch's nochmal langsam:
[mm] (f\circ [/mm] g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)
>
> i(x)= [mm]ln(1+3x^2)[/mm]
> i'(x)= [mm]\bruch{6x}{1+3x^2}[/mm]
Richtig.
>
> j(x)= [mm]3ln(\wurzel{4x})[/mm]
> j'(x)= [mm]\bruch{6}{\wurzel{4x^2}}[/mm]
Hier hast Du einen kleinen Fehler gemacht. je nachdem, wie Du rechnest, hast Du im Nenner [mm] 2\wurzel{x}*2\wurzel{x}=4\wurzel{x^2}=4x [/mm] oder [mm] \wurzel{4x}*\wurzel{4x}=4x.
[/mm]
Überprüfe das.
> j'(x)= [mm]\bruch{3}{x}[/mm]
>
> k(x)= [mm]ln(\bruch{x}{1+x})[/mm]
> k'(x)= [mm]\bruch{1+x}{x+x^3}[/mm]
Hier scheinst Du Dich beim Ableiten von [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] verhaspelt zu haben.
>
> l(x)= [mm]ln(\wurzel[3]{x})[/mm]
> l'(x)= [mm]\bruch{1}{3\wurzel[3]{x^2}}[/mm]
Es sieht mir so aus, als hättest Du die äußere Ableitung vergessen.
Falls Du Rückfragen ast, poste bitte Deine Rechenwege mit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Realbarca!
Gerade bei [mm] $\ln(...)-$-Funktionen [/mm] kann man sich oft das Ableiten stark vereinfachen, wenn man vorher die  Logarithmusgesetze anwendet.
Beispiele:
$$k(x) \ = [mm] \ln\left(\bruch{x}{1+x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)-\ln(1+x)$$
[/mm]
$$l(x) \ = \ [mm] \ln\left( \ \wurzel[3]{x} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left( \ x^{\bruch{1}{3}} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\ln(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Mit den Gesetzten scheint es wirklich einfacher zu sein. Danke Loddar.
Hier meine Verbesserungen!
j'(x)= [mm] \bruch{3}{2x}
[/mm]
k'(x)= [mm] \bruch{1}{x}-\bruch{1}{1+x}
[/mm]
l'(x)= [mm] \bruch{1}{3x}
[/mm]
Ist es so richtig?
Danke ansonsten für eure Hilfe!!
|
|
|
| |
|
Hallo,
nun ist alles richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich hab da noch eine Frage.
Wie würde denn die Ableitung hiervon aussehen:
[mm] f(x)=\bruch{ln^2x}{x} [/mm] ---> Mich irritiert dieses [mm] ln^2 [/mm] ... ist dass nicht einfach eine Konstante???
|
|
|
| |
|
Hallo Realbarca,
> Hallo,
>
> ich hab da noch eine Frage.
> Wie würde denn die Ableitung hiervon aussehen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{ln^2x}{x}[/mm] ---> Mich irritiert dieses [mm]ln^2[/mm] ...
> ist dass nicht einfach eine Konstante???
oh nein!
Da steht ja im Zähler [mm] $\ln^2(x)$, [/mm] das kannst du auch schreiben als [mm] $\left(\ln(x)\right)^2$, [/mm] dann kannst du es mit der Kettenregel angehen
[mm] $\left[\left(\ln(x)\right)^2\right]'=\underbrace{2\cdot{}\left(\ln(x)\right)^1}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\left[\ln(x)\right]'}_{\text{innere Ableitung}}=\frac{2\ln(x)}{x}$
[/mm]
ODER du schreibst es als Produkt und leitest nach Produktregel ab:
[mm] $\ln^2(x)=\ln(x)\cdot{}\ln(x)\Rightarrow \left[\ln^2(x)\right]'=\left[\ln(x)\cdot{}\ln(x)\right]'=\frac{1}{x}\cdot{}\ln(x)+\ln(x)\cdot{}\frac{1}{x}=\frac{2\ln(x)}{x}$
[/mm]
Wohlgemerkt, das ist nur die Ableitung des Zählers deiner Funktion.
Jetzt wirf mal den Mixer an und verquirle alles zu einer Gesamtableitung 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Realbarca |
Dann versuch ichs mal...
f(x)= [mm] -\bruch{1}{x^2}*ln^2x+\bruch{1}{x}*\bruch{2lnx}{x}
[/mm]
SO richtig...??? ;)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Dann versuch ichs mal...
>
> [mm] f\red{'}(x)=[/mm] [mm]-\bruch{1}{x^2}*ln^2x+\bruch{1}{x}*\bruch{2lnx}{x}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ja, super, das sieht sehr gut aus, schreibe es vllt. noch ein bissl "ordenlicher" auf, auf einen Bruchstrich:
[mm] $f'(x)=\frac{2\ln(x)-\ln^2(x)}{x^2}$
[/mm]
>
>
> SO richtig...??? ;)
Ja, bestens!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
