Lipschitzstetigkeit im \IR^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Di 21.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Die Lipschitzstetigkeit zwischen Metrischen Räumen ist wie folgt definiert:
X,Y metr. Räume, [mm] f:X\supseteq [/mm] A [mm] \to [/mm] Y heißt Lipschitzstetig, wenn eine Konstante L>0 existiert, s.d. [mm] d_Y(f(u),f(v)) \le Ld_X(x,v) \forall u,v\in [/mm] A.
Kann ich Lipschitzstetigkeit auch zeigen, indem ich [mm] d_Y(f(u),f(v)) \le Ld_X(x,v) [/mm] zeige, aber links mit der eukl. Norm und rechts mit der Maximumsnorm?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Lipschitzstetigkeit zwischen Metrischen Räumen ist wie
> folgt definiert:
> X,Y metr. Räume, [mm]f:X\supseteq[/mm] A [mm]\to[/mm] Y heißt
> Lipschitzstetig, wenn eine Konstante L>0 existiert, s.d.
> [mm]d_Y(f(u),f(v)) \le Ld_X(x,v) \forall u,v\in[/mm] A.
>
> Kann ich Lipschitzstetigkeit auch zeigen, indem ich
> [mm]d_Y(f(u),f(v)) \le Ld_X(x,v)[/mm] zeige, aber links mit der
> eukl. Norm und rechts mit der Maximumsnorm?
Ich bin mir nicht im Klaren , was Du willst.
Die metr. Räume X,Y mit ihren Metriken [mm] d_X [/mm] bzw. [mm] d_Y [/mm] sind gegeben, ebenso die Abb. f.
Ist dann f bezügl. dieser Metriken Lip. - stetig, so kannst Du diese Eigenschaft kaputt machen, wenn Du an der Mettrik auf X (oder auf Y) herumdoktorst.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Di 21.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Ich habe mir folgendes gedacht:
Wenn ich mich auf dem [mm] \IR^n [/mm] befinde, dann sind dort ja alle Normen äquivalent. Kann ich nun z.B. für eine Abbildung [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] zeigen, dass sie Lipschitzstetig ist, wenn ich zeige, dass
[mm] |f(x)-f(y)|\le L\parallel x-y\parallel_\infty [/mm] .
|*| ist die eukl. Norm.
Ich nutze hier zwar rechts und links des [mm] "\le" [/mm] zwei unterschiedliche Normen, aber kann mir das nicht egal sein, weil ich auf dem [mm] \IR^n [/mm] operiere und hier, wie gesagt, alle Normen äquivalent sind?
Ich hoffe man versteht jetzt, was ich meine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mir folgendes gedacht:
> Wenn ich mich auf dem [mm]\IR^n[/mm] befinde, dann sind dort ja
> alle Normen äquivalent. Kann ich nun z.B. für eine
> Abbildung [mm]f:\IR^2\to \IR^2[/mm] zeigen, dass sie Lipschitzstetig
> ist, wenn ich zeige, dass
> [mm]|f(x)-f(y)|\le L\parallel x-y\parallel_\infty[/mm] .
> |*| ist die eukl. Norm.
> Ich nutze hier zwar rechts und links des [mm]"\le"[/mm] zwei
> unterschiedliche Normen, aber kann mir das nicht egal sein,
> weil ich auf dem [mm]\IR^n[/mm] operiere und hier, wie gesagt, alle
> Normen äquivalent sind?
Ja, das kannst Du machen. Aber Die Konatante L ändert sich, je nach verwendeten Normen.
FRED
> Ich hoffe man versteht jetzt, was ich meine.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 21.05.2013 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine geduldige Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe mir folgendes gedacht:
> Wenn ich mich auf dem [mm]\IR^n[/mm] befinde, dann sind dort ja
> alle Normen äquivalent.
nur mal nebenbei: Man kann auch definieren, wann Metriken äquivalent sein
sollen. Das ist vor allem deswegen interessant, weil man bei einem
vollständigen metrischen Raum nicht die Vollständigkeit "kaputtieren" ( ich
kreiere gerade blöde Wörter  ) kann, wenn man die Metrik dann durch eine
äquivalente ersetzt!
(Jetzt hoffe ich mal gerade, dass mein letzter Satz so stimmt... ich hab' das
mehr aus Erinnerung denn durch nochmal drüber nachdenken gesagt!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
