Lipschitzstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Intervall [mm] A=\left[\bruch{1}{2},1\right].
[/mm]
Zeigen Sie, [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A gilt:
|cos y - cos x| [mm] \le \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] |y-x| |
Mein ansatzt sieht wie folgt aus:
Nach dem mittelwertsatz der Differenzialrechnung gilt:
Es gibt ein [mm] \xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right), [/mm] sodass:
|cos y - cos x| [mm] =-sin(\xi)|y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] |y-x|
Nur müsste ich die letzte ungleichung begründen:
[mm] -sin(\xi)<0 [/mm] für [mm] \xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right) [/mm]
also sollte [mm] -sin(\xi) \le \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] gelten.
Das wirkt bislang aber irgendwie alles noch sehr unschön.
Darf ich das überhaupt so machen, oder fahre ich grade vollkommen falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 24.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist ein Intervall [mm]A=\left[\bruch{1}{2},1\right].[/mm]
>
> Zeigen Sie, [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] A gilt:
>
> |cos y - cos x| [mm]\le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] |y-x|
> Mein ansatzt sieht wie folgt aus:
>
> Nach dem mittelwertsatz der Differenzialrechnung gilt:
>
>
> Es gibt ein [mm]\xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right),[/mm] sodass:
>
>
> |cos y - cos x| [mm]=-sin(\xi)|y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> |y-x|
Hier sollte
|cos y - cos x| [mm]=|sin(\xi)||y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] |y-x|
stehen.
FRED
>
> Nur müsste ich die letzte ungleichung begründen:
>
> [mm]-sin(\xi)<0[/mm] für [mm]\xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right)[/mm]
>
> also sollte [mm]-sin(\xi) \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] gelten.
>
> Das wirkt bislang aber irgendwie alles noch sehr unschön.
> Darf ich das überhaupt so machen, oder fahre ich grade
> vollkommen falsch ?
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hier sollte
>
> |cos y - cos x| [mm]=|sin(\xi)||y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> |y-x|
>
> stehen.
>
> FRED
Da hast du natürlich recht.
Es gilt trotzdem:
$ [mm] |sin(\xi)|<\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] $ für $ [mm] \xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right) [/mm] $
Zumindest sieht es so aus, wenn ich mir das ganze mal plotten lasse.
Natürlich muss ich das ganze noch begründen.
Da stehe ich momentan noch auf dem trockenen.
Allerdings frage ich mich immer noch, ob meine idee zielführend ist.
Wie soll ich denn zeigen können, dass [mm] |sin(\xi)|<\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] wirklich gilt ?
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> > Hier sollte
> >
> > |cos y - cos x| [mm]=|sin(\xi)||y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> > |y-x|
> >
> > stehen.
> >
> > FRED
>
> Da hast du natürlich recht.
>
> Es gilt trotzdem:
>
> [mm]|sin(\xi)|<\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] für [mm]\xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right)[/mm]
>
> Zumindest sieht es so aus, wenn ich mir das ganze mal
> plotten lasse.
> Natürlich muss ich das ganze noch begründen.
Hallo,
zwischen 0 und [mm] \pi/2 [/mm] ist der sin monoton wachsend,
und es ist [mm] sin(\pi/3)=\wurzel{3}/2.
[/mm]
Das sollte weiterhelfen.
LG Angela
> Da stehe ich momentan noch auf dem trockenen.
>
>
> Allerdings frage ich mich immer noch, ob meine idee
> zielführend ist.
Ja.
>
> Wie soll ich denn zeigen können, dass
> [mm]|sin(\xi)|<\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] wirklich gilt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist ein Intervall [mm]A=\left[\bruch{1}{2},1\right].[/mm]
>
> Zeigen Sie, [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] A gilt:
>
> |cos y - cos x| [mm]\le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] |y-x|
> Mein ansatzt sieht wie folgt aus:
>
> Nach dem mittelwertsatz der Differenzialrechnung gilt:
>
>
> Es gibt ein [mm]\xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right),[/mm] sodass:
>
>
> |cos y - cos x| [mm]=-sin(\xi)|y-x| \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> |y-x|
>
> Nur müsste ich die letzte ungleichung begründen:
>
> [mm]-sin(\xi)<0[/mm] für [mm]\xi \in \left(\bruch{1}{2},1\right)[/mm]
>
> also sollte [mm]-sin(\xi) \le \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] gelten.
>
> Das wirkt bislang aber irgendwie alles noch sehr unschön.
> Darf ich das überhaupt so machen, oder fahre ich grade
> vollkommen falsch ?
neben allem bisher gesagten: [mm] $\cos\,$ [/mm] ist sogar Lipschitzstetig auf ganz [mm] $\IR\,,$ [/mm] denn mithilfe
des MWS der Differentialrechnung kann man zeigen: Ist $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Intervall (auch [mm] $-\infty,\infty$ [/mm]
sind als Intervallgrenzen zulässig) und ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar auf [mm] $I\,$ [/mm] so gilt: Ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt,
so ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitzstetig. (Du hast im Prinzip genau die Überlegungen schon verwendet, die
man bei dem Beweis dafür braucht - und tatsächlich kann man den zweiten Teil
dieser Aussage zu "genau dann, wenn" umformulieren!)
Beim Beweis zeigst Du einfach, dass jede Schranke für [mm] $|f\,'|$ [/mm] eine geeignete
Lipschitzkonstante ist.
Und oben ist [mm] $\cos$ [/mm] sogar Lipschitzstetig auf ganz [mm] $\IR\,,$ [/mm] weil dort [mm] $|\cos'|=|-\,\sin|=|\sin| \le 1\,.$
[/mm]
(Insbesondere folgt [mm] $|\cos(x)-\cos(y)| \le [/mm] |x-y|$ sogar für alle $x,y [mm] \in \IR$)
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe:
Schätze [mm] $|\cos'|=|\sin|$ [/mm] auf [mm] $[\tfrac{1}{2},\;1\;]$ [/mm] ab, denn wie gesagt: Jede obere Schranke für [mm] $|f\,'|$ [/mm]
auf [mm] $I\,$ [/mm] ist (dort) eine geeignete Lipschitzkonstante - um ganz genau zu sein:
Betrachte [mm] $\cos_{|[1/2,\;1]}$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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