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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:16 Sa 26.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
| Aufgabe | Prüfe, ob die folgenden Anfangswertaufgaben eine lokal eindeutige Lösung besitzen.
i) u' = ln(t)u, u(0) = 0
ii) u' = 1/u, u(0) = 1 |
Hi!
Ich lerne grad für eine Klausur und stelle fest, dass mir das Überprüfen der Lipschitzbedingung nicht richtig klar ist. Ich habe mich mal an ein paar Beispielen versucht und würde euch um Feedback dazu bitten.
Also, es muss ja gelten:
[mm] \parallel D_u f(u,t)\parallel \le [/mm] L [mm] \forall t\in [/mm] J, [mm] u\in Q_b
[/mm]
Das heißt doch, dass die Bedingung gilt, wenn ich ein Intervall finde, so dass der Betrag der Ableitung kleiner als irgendein L ist. Soweit richtig, oder?
i) [mm] \parallel D_u f(u,t)\parallel [/mm] = ln(t). Jetzt muss ich ein Intervall J= [mm] [t_0-a, t_0+a] [/mm] finden, aber da [mm] t_0 [/mm] = 0 und ln nur für positive Zahlen definiert ist, existiert eine eindeutige Lösung nur für t=0. Richtig??
ii) [mm] \parallel D_u f(u,t)\parallel [/mm] = [mm] 1/u^2. [/mm] Das hängt nicht von t ab, also muss ich nur ein Intervall [mm] Q_b= ]u_0-\varepsilon, u_0+\varepsilon [/mm] [ = [mm] ]1-\varepsilon, 1+\varepsilon [/mm] [ finden, sodass [mm] 1/u^2 \le [/mm] L [mm] \forall [/mm] u.
Wenn ich jetzt [mm] \varepsilon [/mm] z.B = 1/2 wähle, wäre [mm] 1/u^2 [/mm] auf diesem Intervall immer [mm] \le [/mm] 4 und die AWA hat damit eine eindeutige Lösung.
Ich hoffe mal, das war nicht alles falsch. Ich wäre echt dankbar für Antworten.
Gruß, Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Schau' dir die Definition der Lipschitzstetigkeit nochmal an (z.B. auf Wikipedia). Du hast da etwas Entscheidendes vergessen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 27.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
hm, ich stehe im Moment auf dem Schlauch. Kanns t du mir bitte etwas auf die Sprünge helfen?
Gruß, Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Zu i): log(0) ist doch gar nicht definiert. Und in einer Umgebung um die Null ist log unbeschränkt.
Ausserdem suchst du bei i) nach einem Intervall um t und bei ii) nach einem Intervall um u. Das kann so nicht sein - du musst bei beiden Teilaufgaben nach dem gleichen passenden Gebiet suchen (also entweder um t oder um u oder um beides [also ein zweidimensionales Gebiet] - schau dies bezüglich nochmal nach).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 28.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
Hallo,
ich schreibe nochmal die beiden Bedingungen ab, so wie sie in meinem Skript stehen.
Lipschitzbedingung:
[mm] |f(t,u_1)-f(t,u_2)|\le L|u_1-u_2|\forall [/mm] t [mm] \in [/mm] J, [mm] u_1, u_2 \in Q_b
[/mm]
Folgende Bedingung ist äquivalent:
[mm] \parallel D_u f(t,u)\parallel \le [/mm] L [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] J, u [mm] \in Q_b, [/mm] wobei [mm] Q_b [/mm] ein offener Quader, f, [mm] D_u [/mm] f [mm] \in C(J\times Q_b, \IR^n)
[/mm]
Vielleicht kann mir jemand sagen, was ich übersehen habe?
Gruß, Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 28.07.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich schreibe nochmal die beiden Bedingungen ab, so wie sie
> in meinem Skript stehen.
> Lipschitzbedingung:
> [mm]|f(t,u_1)-f(t,u_2)|\le L|u_1-u_2|\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] J, [mm]u_1, u_2 \in Q_b[/mm]
>
> Folgende Bedingung ist äquivalent:
> [mm]\parallel D_u f(t,u)\parallel \le[/mm] L [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] J, u [mm]\in Q_b,[/mm]
> wobei [mm]Q_b[/mm] ein offener Quader, f, [mm]D_u[/mm] f [mm]\in C(J\times Q_b, \IR^n)[/mm]
>
Äquivalent sind die Bedingungen nicht ! Aus der zweiten folgt die erste.
> Vielleicht kann mir jemand sagen, was ich übersehen habe?
Sonst nichts
> Gruß, Timo
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:07 Mo 28.07.2008 | | Autor: | stimo59 |
Ok, danke. Heißt das denn, dass die Aufgaben, die ich gepostet habe richtig sind?
Gruß, Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mi 30.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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