Lipschitzbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 14.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich hätte eine Frage, wenn ich eine homogene lineare Differentialgleichung habe und übersetze diese in ein Differentialgleichungssystem mit einer reellen Matrix A(x) ($n [mm] \times [/mm] n$) und einem reell differenzierbaren Lösungsvektor y, sodass $y'=A(x)y$ gilt.
Wie kann ich zeigen, dass das zumindest lokal einer Lipschitzbedingung genügt, das sehe ich gerade nicht.
Ich hatte jetzt daran gedacht eventuell [mm] $||A(x)(y-\tilde{y})||$ [/mm] irgendwie geeignet abzuschätzen, aber da kam ich nicht weiter.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:12 Mo 15.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Sei B eine reelle nxn Matrix und [mm] ||*||_M [/mm] die von der euklidischen Norm [mm] ||*||_2 [/mm] auf [mm] \IR^n [/mm] induzierte Matrixnorm. Dann gilt also:
[mm] ||By||_2 \le ||B||_M*||y||_2$ [/mm] für alle y [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Sei nun I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und A eine auf I stetige matrixwertige Funktion.
Ist dann K eine kompakte Teilmenge von I , so ist die Funktion x [mm] \to ||A(x)||_M [/mm] auf K beschränkt.
Somit ex. eine Konstante [mm] L_K \ge [/mm] 0 mit
[mm] ||A(x)||_M \le L_K [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] K.
Also:
$ [mm] ||A(x)(y-\tilde{y})||_2 \le L_K ||y-\tilde{y}||_2 [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] K und alle [mm] y,\tilde{y} \in \IR^n.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank.
Viele Grüße,
Reynir
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