matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisLipschitz stetig im R2
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Funktionalanalysis" - Lipschitz stetig im R2
Lipschitz stetig im R2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lipschitz stetig im R2: Norm?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:54 So 17.04.2011
Autor: BarneyS

Aufgabe
Zeigen Sie
[mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
ist auf $ [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $  Lipschitz-Stetig.


Die Bedingung lautet ja

[mm] |f(\vec{x_1})-f(\vec{x_2}|\le L||\vec{x_1}-\vec{x_2}|| [/mm]

Das, was auf der rechten Seite der Ungleichung steht, ist das die Zweier-Norm, also

[mm] L \wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/mm] ?

thx

        
Bezug
Lipschitz stetig im R2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 So 17.04.2011
Autor: BarneyS

Aufgabe
Zeigen Sie
[mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
ist auf $ [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $ Lipschitz-Stetig.



Es könnte total falsch sein, aber hier mein Versuch:

[mm] \left|\bruch{1}{x_1^2} + \bruch{1}{y_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| \le \left|\bruch{1}{x_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}\right| + \left|\bruch{1}{y_1^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| = \left| \bruch{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2} \right| +\left| \bruch{y_2^2-y_1^2}{y_1^2y_2^2} \right| = \bruch{|x_2-x_1| |x_2+x_1|}{x_1^2x_2^2} + \bruch{|y_2-y_1| |y_2+y_2|}{y_1^2y_2^2} \le 6 (|x_2-x_1| + |y_2-y_1|) = 6 || \vec{x_1}-\vec{x_2}||[/mm]

Lipschitz Konstante L = 6 ?

(Bei der letzten Abschätzung setze ich im Zähler jeweils den Max-Wert 3 und im Nenner den Min-Wert 1 ein)

Beim letzten Rechenschritt bin ich mir besonders unsicher. Müsste man da nicht nochmal abschätzen?


Bezug
                
Bezug
Lipschitz stetig im R2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Mo 18.04.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie
> [mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
>  ist auf [mm][1,2] \times [1,3][/mm]
> Lipschitz-Stetig.
>  
>
> Es könnte total falsch sein, aber hier mein Versuch:
>  
> [mm]\left|\bruch{1}{x_1^2} + \bruch{1}{y_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| \le \left|\bruch{1}{x_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}\right| + \left|\bruch{1}{y_1^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| = \left| \bruch{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2} \right| +\left| \bruch{y_2^2-y_1^2}{y_1^2y_2^2} \right| = \bruch{|x_2-x_1| |x_2+x_1|}{x_1^2x_2^2} + \bruch{|y_2-y_1| |y_2+y_2|}{y_1^2y_2^2} \le 6 (|x_2-x_1| + |y_2-y_1|) = 6 || \vec{x_1}-\vec{x_2}||[/mm]


Das letzte "="  stimmt nicht.

Es gilt: $ [mm] |x_2-x_1| \le [/mm]  || [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}|| [/mm] $  und  [mm] $|y_2-y_1| \le [/mm]  || [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}||.$ [/mm]

Damit bekommst Du am Ende:  $ [mm] \le [/mm] 12*|| [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}||.$ [/mm]

>  
> Lipschitz Konstante L = 6 ?
>  
> (Bei der letzten Abschätzung setze ich im Zähler jeweils
> den Max-Wert 3 und im Nenner den Min-Wert 1 ein)
>  
> Beim letzten Rechenschritt bin ich mir besonders unsicher.
> Müsste man da nicht nochmal abschätzen?

S.0.


Viel einfacher gehts so:

Wir setzen $R:= [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $  , R ist kompakt.

Es ist grad f  auf R stetig, also ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:  $||grad f(c)|| [mm] \le [/mm] L$  für jedes c [mm] \in [/mm] R.

Nimm a,b [mm] \in [/mm] R. Nach dem Mittelwersatz gibt es ein c [mm] \in [/mm] R mit:

            f(b)-f(a)= gradf(c)*(b-a)

Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungl. folgt:

              $|f(b)-f(a)|  [mm] \le [/mm] ||gradf(c)||*||b-a|| [mm] \le [/mm] L*||b-a||$

FRED

>  


Bezug
                        
Bezug
Lipschitz stetig im R2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Mo 18.04.2011
Autor: BarneyS

Top! :)
Vielen Dank für die Antwort!

B

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]