Lipschitz mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Di 16.11.2010 | | Autor: | PHoch10 |
| Aufgabe | Hier die Aufgabe, die mir ein paar kleine Probleme bereitet
Zeigen oder wiederlegen Sie:
Die Funktion
f: [mm] (]0,\infty[^{d},\parallel .\parallel_1) \to ]0,\infty[, [/mm]
(x1,...,xd) [mm] \mapsto \bruch{x1}{\summe_{i=1}^{d} xi}
[/mm]
ist Lipschitz-stetig.
Hierbei bezeichnet [mm] \parallel .\parallel_1 [/mm] die Manhattan-Norm, d.h. [mm] \parallel (x1,...,xd)\parallel_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{d} [/mm] |xi|. |
Hier erstmal mein Lösungsversuch:
Ich setze mal für Vektoren x und y aus [mm] ]0,\infty[^{d} [/mm] folgende Abkürzungen ein: Sx= [mm] \summe_{i=1}^{d} [/mm] xi und [mm] Sy=\summe_{i=1}^{d} [/mm] yi. Dann erhalte ich
[mm] |\bruch{x1}{\summe_{i=1}^{d} xi} [/mm] - [mm] \bruch{y1}{\summe_{i=1}^{d} yi}|
[/mm]
= |(x1-y1) [mm] \bruch{Sx}{Sx*Sy} [/mm] + [mm] x1*\bruch{Sy-Sx}{Sx*Sy}|.
[/mm]
Weil alle Einträge positiv sind, ist der erste Summand betragsmäßig echt kleiner als [mm] \parallel x-y\parallel_1. [/mm] Meine Probleme habe ich nun mit dem zweiten. Hier bekomme ich natürlich für den Betrag die Abschätzung
[mm] |x1*\bruch{Sy-Sx}{Sx*Sy}|< \parallel x-y\parallel_1 \bruch{x1}{Sx*Sy}
[/mm]
und der hintere Faktor ist für [mm] Sy\ge [/mm] 1 auch echt kleiner 1. Durch Vertauschen von x und y in der Rechnung habe ich also die Lipschitz-Stetigkeit für den Fall 0<Sx,Sy<1 gezeigt (also außerhalb des Einheitssimplexes). Für den anderen Fall ist mir bisher aber noch nichts eingefallen. Freue mich auf jeden Tipp. Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, es gäbe ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
$|f(x)-f(u)| [mm] \le L||x-u||_1$ [/mm] für alle x,u [mm] \in ]0,\infty[^{d}
[/mm]
Nun sei t>0 . Setze x=(t,0,0,..,0) und u=(t,t,0,...,0) Dann erhältst Du einen Widerspruch
FRED
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