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| Aufgabe | a) Sei G [mm] \subset \IR x\IR^n [/mm] und f: [mm] G\to\IR [/mm] stetig. Zeigen sie, ist f lokal Lipschitz, ist |f| lokal Lipschitz
b) Zeigen sie y'= [mm] |xy^2+x^2y+13|, y(x_0)=y_0 [/mm] ist für alle [mm] (x_0,y_0)\subset \IR^2 [/mm] eindeutig lösbar.
c) Für welche a>0 ist [mm] y^a [/mm] lokal Libschitz auf [mm] [o,\infty) [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe eine kleine Hilfe.
für a hab ich dies:
|| |f(x,y)|-|f(x,y')| || Wähle nun die erste Norm
| |f(x,y)|-|f(x,y')| |= [mm] ((|f(x,y)|-|f(x,y')|)^2)^{1/2}
[/mm]
= [mm] ((f(x,y))^2 [/mm] -|2f(x,y)f(x,y'| + [mm] (f(x,y'))^2)^{1/2}
[/mm]
[mm] \le ((f(x,y))^2 [/mm] -2 f(x,y)f(x,y') + [mm] (f(x,y'))^2)^{1/2}
[/mm]
= [mm] (((f(x,y)-f(x,y'))^2)^{1/2}
[/mm]
=|f(x,y)-f(x,y')| da f aber schon lokal lipschitz ist können wir nun sagen, dass auch die Betragsfunktion die Bedingung erfüllt. ist es okay so?
zu b) Wähle δ=1 sodass [mm] |x-x_0|< [/mm] 1 [mm] |y-y_0|<1 [/mm] und [mm] |y'-y_0|<1 [/mm] gilt (hier ist y' nicht die Ableitung)
dann setzte wieder in die erste Norm ein:
|f(x,y)-f(x,y')| = [mm] |x(y^2-(y')^2)+ x^2(y-y')|= [/mm] |y-y'| |x| |y+y'+x|
nun ergänzen wir [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] und verwenden die dreiecksungleichung:
[mm] \le |x-x_0|x_0|(|y-y_0|+|y'-y_0|+|x-x_0|+2|y_0|+|x_0|
[/mm]
[mm] \le 3|x_0|+2|y_0||x_0|+|x_0|^2 [/mm]
nun können wir mit teil a sagen, dass dass unsere Funktion Lipschitz lokal ist. dann haben wir einen Satz im Skript, welcher sagt, wenn [mm] \IR [/mm] entartet ist und f der lokalen Lipschitz Bed. genügt, dass das AWP eine eindeutige Lösung ist.
Aber wie zeige ich, dass [mm] \IR [/mm] entartet ist??
zu c) da habe ich leider garkeine Ahnung wie ich es beweisen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 06.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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