Lipschitz-Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 02.06.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | In der rechten Halbebene [mm] D={x=(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}>0 } [/mm] sei f : [mm] D-->\IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass f auf D keiner Lipschitzbedingung genügt, jedoch auf dem Teilgebiet [mm] \omega={x\in D : x_{2} > 1/x_{1}} [/mm] die Lipschitzbedingung erfüllt:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] ||x-y|| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \omega
[/mm]
Tipp: Mittelwertsatz der Integralrechnung
Zusatz: Gibt es auf [mm] \omega [/mm] noch eine bessere Lipschitzkonstante als 1? |
Hallo, habe bisher folgende Übelegungen:
Ich muss die Negation der Lipschitzedingung zeigen, d.h.
für alle [mm] L\le [/mm] 0 gibt es ein x,y [mm] \in [/mm] D: |f(x)-f(y)| > ||x-y||
Hierbei würde ich die euklidische Norm verwenden.
Setze ich nun ein und schätze ab ,erhalte ich:
[mm] |arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}})-arctan(\bruch{y_{2}}{y_{1}})|\ge -\pi [/mm] /2 - [mm] \pi /2=-\pi [/mm] > [mm] L*\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2)+(y_{1}^2+y_{2}^2)}
[/mm]
An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Muss ich hier irgendwie die partiellen Ableitungen einbringen? Hier habe ich folgende berechnet, bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmen:
[mm] \delta _{x_{1}}f [/mm] = [mm] -\bruch{x_{2}}{x_{1}^2+x_{2}}
[/mm]
[mm] \delta _{x_{2}}f [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2}
[/mm]
Danke für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 02.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> In der rechten Halbebene [mm]D={x=(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}>0 }[/mm]
> sei f : [mm]D-->\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}}).[/mm]
> Zeigen Sie, dass f auf D keiner Lipschitzbedingung
> genügt, jedoch auf dem Teilgebiet [mm]\omega={x\in D : x_{2} > 1/x_{1}}[/mm]
> die Lipschitzbedingung erfüllt:
> |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] ||x-y|| [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \omega[/mm]
>
> Tipp: Mittelwertsatz der Integralrechnung
> Zusatz: Gibt es auf [mm]\omega[/mm] noch eine bessere
> Lipschitzkonstante als 1?
> Hallo, habe bisher folgende Übelegungen:
> Ich muss die Negation der Lipschitzedingung zeigen, d.h.
> für alle [mm]L\le[/mm] 0 gibt es ein x,y [mm]\in[/mm] D: |f(x)-f(y)| >
> ||x-y||
> Hierbei würde ich die euklidische Norm verwenden.
> Setze ich nun ein und schätze ab ,erhalte ich:
>
> [mm]|arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}})-arctan(\bruch{y_{2}}{y_{1}})|\le -\pi[/mm]
> /2 - [mm]\pi /2=-\pi[/mm] >
> [mm]L*\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2)+(y_{1}^2+y_{2}^2)}[/mm]
Das ist doch grober Unfug !!! Wie kann denn ein Betrag [mm] \le -\pi [/mm] sein ?????
FRED
>
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Muss ich hier
> irgendwie die partiellen Ableitungen einbringen? Hier habe
> ich folgende berechnet, bin mir aber nicht sicher, ob sie
> stimmen:
> [mm]\delta _{x_{1}}f[/mm] = [mm]-\bruch{x_{2}}{x_{1}^2+x_{2}}[/mm]
>
> [mm]\delta _{x_{2}}f[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm]
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> Danke für eure Hilfe :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 02.06.2013 | | Autor: | lol13 |
Danke für den Hinweis, du hast Recht, hatte es in meinen Notizen richtig, hier habe ich mich vertippt und es eben oben direkt abgeändert. Kannst du mir vllt erklären, wie es nach den obigen Schritten weitergeht oder ob mein Ansatz völlig falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 02.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Hinweis, du hast Recht, hatte es in meinen
> Notizen richtig, hier habe ich mich vertippt und es eben
> oben direkt abgeändert. Kannst du mir vllt erklären, wie
> es nach den obigen Schritten weitergeht oder ob mein Ansatz
> völlig falsch ist?
Wieder grober Unfug !
Wie kann denn - [mm] \pi [/mm] > $ [mm] L\cdot{}\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2)+(y_{1}^2+y_{2}^2)} [/mm] $
sein ????
Desweiteren ist [mm] ||x-y||=\wurzel{(x_{1}-y_1)^2+(x_{2}-y_{2})^2} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 02.06.2013 | | Autor: | lol13 |
bei [mm] -\pi [/mm] habe ich die Betragsstriche vergessen:
[mm] |-\pi|=\pi [/mm] > L*||x-y|| = [mm] L*\wurzel{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}
[/mm]
Ist die Abschätzung mit [mm] \pi [/mm] zu grob? Muss ich jetzt den Teil nach der Lipschitz-Konstante abschätzen? Kann mir bitte jmd sagen wie ich weiter vorgehen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 02.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> bei [mm]-\pi[/mm] habe ich die Betragsstriche vergessen:
>
> [mm]|-\pi|=\pi[/mm] > L*||x-y|| =
> [mm]L*\wurzel{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}[/mm]
So wird das nichts !
Nimm an es gäbe ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L*||x-y|| .
Mit [mm] x=(x_1,x_2) [/mm] und [mm] y=(y_1,0) \quad [/mm] wobei [mm] x_1,y_1 [/mm] >0, folgt dann:
[mm] |arctan(x_2/x_1)| \le [/mm] L* [mm] \wurzel{(x_1-y_1)^2+x_2^2}
[/mm]
Mit [mm] x_1 \to [/mm] 0 erhalten wir:
[mm] \pi/2 \le L*\wurzel{(y_1^2+x_2^2}
[/mm]
Jetzt lassen wir [mm] y_1 [/mm] gegen 0 gehen und bekommen
[mm] \pi/2 \le L*|x_2| [/mm] und das für alle (!) [mm] x_2 [/mm] !
Geht das gut ?
FRED
>
> Ist die Abschätzung mit [mm]\pi[/mm] zu grob? Muss ich jetzt den
> Teil nach der Lipschitz-Konstante abschätzen? Kann mir
> bitte jmd sagen wie ich weiter vorgehen muss?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 02.06.2013 | | Autor: | lol13 |
> Jetzt lassen wir [mm]y_1[/mm] gegen 0 gehen und bekommen
>
> [mm]\pi/2 \le L*|x_2|[/mm] und das für alle (!) [mm]x_2[/mm] !
>
> Geht das gut ?
>
Nein, nicht für alle [mm] x_{2}, [/mm] denn bstimmte [mm] x_{2} [/mm] können auch kleiner als [mm] \pi [/mm] /2 sein. Reicht dieses Beispiel zur Beantwortung der Frage schon aus, weil es sich um ein Gegenbeispiel handelt? Oder wäre das noch nicht allgemein genug?
Für den 2.Teil der Aufgabe ergibt sich:
f(x)=arctan [mm] (x_{2}/x_{1}) [/mm] > arctan [mm] (1/x_{1}^2)
[/mm]
Also: |arctan [mm] (1/x_{1}^2)-arctan (1/y_{1}^2)|\to [/mm] 0-0=0 [mm] \le [/mm] L*||x-y||
Was meint ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 02.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Jetzt lassen wir [mm]y_1[/mm] gegen 0 gehen und bekommen
> >
> > [mm]\pi/2 \le L*|x_2|[/mm] und das für alle (!) [mm]x_2[/mm] !
> >
> > Geht das gut ?
> >
> Nein, nicht für alle [mm]x_{2},[/mm] denn bstimmte [mm]x_{2}[/mm] können
> auch kleiner als [mm]\pi[/mm] /2 sein. Reicht dieses Beispiel zur
> Beantwortung der Frage schon aus
Klar, denn ein L [mm] \ge [/mm] 0 , wie oben angenommen, kann es nicht geben.
> , weil es sich um ein
> Gegenbeispiel handelt? Oder wäre das noch nicht allgemein
> genug?
>
>
> Für den 2.Teil der Aufgabe ergibt sich:
> f(x)=arctan [mm](x_{2}/x_{1})[/mm] > arctan [mm](1/x_{1}^2)[/mm]
>
> Also: |arctan [mm](1/x_{1}^2)-arctan (1/y_{1}^2)|\to[/mm] 0-0=0 [mm]\le[/mm]
> L*||x-y||
>
> Was meint ihr dazu?
Das: wieder grober Unfug.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:42 So 02.06.2013 | | Autor: | lol13 |
Meinst du die Abschätzung mit 0?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> >
> > Für den 2.Teil der Aufgabe ergibt sich:
> > f(x)=arctan [mm](x_{2}/x_{1})[/mm] > arctan [mm](1/x_{1}^2)[/mm]
> >
> > Also: |arctan [mm](1/x_{1}^2)-arctan (1/y_{1}^2)|\to[/mm] 0-0=0 [mm]\le[/mm]
> > L*||x-y||
> >
> > Was meint ihr dazu?
>
> Das: wieder grober Unfug.
>
> FRED
>
Hallo, was genau ist hier Unfug?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> > >
> > > Für den 2.Teil der Aufgabe ergibt sich:
> > > f(x)=arctan [mm](x_{2}/x_{1})[/mm] > arctan [mm](1/x_{1}^2)[/mm]
> > >
> > > Also: |arctan [mm](1/x_{1}^2)-arctan (1/y_{1}^2)|\to[/mm] 0-0=0 [mm]\le[/mm]
> > > L*||x-y||
> > >
> > > Was meint ihr dazu?
> >
> > Das: wieder grober Unfug.
> >
> > FRED
> >
>
> Hallo, was genau ist hier Unfug?
Wie lol13 die Lipschitzstetigkeit auf [mm] \omega [/mm] "zeigen" will.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 So 02.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da ist aber nach wie vor einiges schiefgelaufen:
> In der rechten Halbebene [mm]D=\{x=(x_{1}, x_{2}) \in \IR^2 : x_{1}>0 \}[/mm]
> sei f : [mm]D-->\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}}).[/mm]
> Zeigen Sie, dass f auf D keiner Lipschitzbedingung
> genügt, jedoch auf dem Teilgebiet [mm]\omega=\{x\in D : x_{2} > 1/x_{1}\}[/mm]
Mengenklammern schreibst Du so: $\{\}$, und [mm] $\to$ [/mm] am besten so: $\to$
> die Lipschitzbedingung erfüllt:
> |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] ||x-y|| [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \omega[/mm]
Das ist jetzt unwichtig, aber vermutlich meinst Du Groß-Omega: [mm] $\Omega$
[/mm]
> Tipp: Mittelwertsatz der Integralrechnung
> Zusatz: Gibt es auf [mm]\omega[/mm] noch eine bessere
> Lipschitzkonstante als 1?
>
> Hallo, habe bisher folgende Übelegungen:
> Ich muss die Negation der Lipschitzedingung zeigen, d.h.
> für alle [mm]L\le[/mm] 0
Für alle $L [mm] \red{\;\ge \;}0$!
[/mm]
> gibt es ein x,y [mm]\in[/mm] D:
Entweder schreibe: "gibt es $x,y [mm] \in D\,$", [/mm] oder: "gibt es ein Paar $(x,y) [mm] \in [/mm] D [mm] \times D\,$". [/mm] Diese [mm] $x,y\,$ [/mm] dürfen
und werden i.a. von [mm] $L\,$ [/mm] abhängen!
> |f(x)-f(y)| > ||x-y||
> Hierbei würde ich die euklidische Norm verwenden.
Was denn auch sonst, wenn nichts weiter bei der Aufgabe dabei steht?
> Setze ich nun ein und schätze ab ,erhalte ich:
>
> [mm]|arctan(\bruch{x_{2}}{x_{1}})-arctan(\bruch{y_{2}}{y_{1}})|\ge -\pi[/mm] /2 - [mm]\pi /2=-\pi[/mm]
Das Beträge $> [mm] -\pi$ [/mm] sind, ist eine langweilige Erkenntnis wegen $0 > [mm] -\pi$!
[/mm]
> [mm] > L*\wurzel{(x_{1}^2+x_{2}^2)+(y_{1}^2+y_{2}^2)}[/mm]
Das [mm] $-\pi [/mm] > [mm] L*\wurzel{...}$ [/mm] ist, ist für $L [mm] \ge 0\,$ [/mm] unmöglich - denn wir haben
ja hier als Ergebnis der Wurzeloperation sicher eine Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$!
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
Ich glaube auch nicht, dass Du da fein genug abgeschätzt hast - also bei
dem Teil, der richtig ist!
> Muss ich hier
> irgendwie die partiellen Ableitungen einbringen?
Mit welchem Ziel denn? Versprichst Du Dir was davon? Es ist doch sinnvoller,
nochmal zu gucken, wo Du eigentlich hinwillst und was Dir dabei helfen
könnte. Einfach mal alle Teile auf den Tisch zu werfen und dann anzufangen,
das ist ja wie 'n Puzzlespiel...
P.S. Und wie Fred schon sagte: [mm] $\|x-y\|$ [/mm] sieht anders aus...
Gruß,
Marcel
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