Lipschitz-Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 21.04.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\alpha\in\mathbb{R}$ [/mm]
[mm] $g_\alpha\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, \quad g_\alpha(x)=\begin{cases}|x|^\alpha, & x\neq 0\\0 & x=0\end{cases}$. [/mm]
Begründen Sie, für welche [mm] $\alpha\in\mathbb{R}$ [/mm] die Funktion [mm] $g_\alpha$ [/mm] lokal bzw. global Lipschitz-stetig ist. |
Hallo zusammen,
irgendwie habe ich bei dieser Aufgabe noch keinen vernünftigen Ansatz gefunden. Ich nehme mal an, [mm] $g_\alpha$ [/mm] ist auf jeden Fall für [mm] $\alpha<0$ [/mm] nicht mal lokal Lipschitz-stetig (mal rein anschaulich), aber außer für [mm] $\alpha=1$, [/mm] wo das Ganze ja wirklich trivial ist, habe ich eigentlich noch nichts. Habt ihr vielleicht einen Tipp (oder mehrere), wie man hier am besten verfährt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ist ja $\alpha\neq 1$: $D{g_\alpha}(x)=\alpha \frac{x}{|x|^{1-\alpha}$ (oder?), und damit wären alle partiellen Ableitungen stetig für $x\neq 0\in\mathbb{R}^n$. Lässt sich lokale Lipschitz-Stetigkeit dann mit dem Mittelwertsatz folgendermaßen irgendwie begründen:
Es gilt nach dem Mittelwertsatz ja:
$f(x+\xi)-f(x)=\left(\int_0^1 Df(x+t\xi)\,\mathrm{d}t\right)\xi$, mit bestimmten Voraussetzungen an $x$ und $\xi$, die irgendwas mit Zusammenhang zu tun haben (???, werde ich noch mal genauer nachschlagen). Soweit ich weiß, sollte das also funktionieren für $\xi\in B_r(x), \quad r>0$.
Setzt man jetzt $\xi:=y-x$, bzw. $\xi:=x-y$, dann ergibt sich insgesamt
$|f(x)-f(y)|\leqslant \left(\int_0^1 |Df(x+t|y-x|)|\,\mathrm{d}t\right)\cdot |x-y|$ für $y\in B_r(x), \quad r>0$, oder so was in der Art. Wenn jetzt alle partiellen Ableitungen stetig sind, dann sollte sich $|Df(x+t|y-x|)|$ ja irgendwie auf einer kompakten Menge abschätzen lassen (dann hätte ich meine Lipschitz-Konstante), also auf $\overline{B_r(x)}$ beispielsweise. (Mit den Normen war ich hier jetzt leider sehr schlampig, aber da bin ich nicht mehr ganz so fit (Matrixnorm, bspw.), das werde ich dann noch mal genau nachgucken, auch wenn die ja sowieso alle äquivalent waren.)
Lässt sich aus diesem Ansatz ein Beweis zimmern, dass $g_\alpha$ für bestimmte/alle $\alpha\in\mathbb{R}$ zumindest lokal Lipschitz-stetig ist?
Wie wäre das dann mit globaler Lipschitz-Stetigkeit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 22.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
außer bei 0 sind alle auf beschränkten Intervallen L-stetig- da man für die L-Konstante die max. Ableitung nehmen kann
in 0 alle für [mm] \alpha \ge [/mm] 1
für [mm] 0<\alpha<1 [/mm] hat man bei 0 Steigung [mm] \infty [/mm] also nicht L-stetig,
[mm] \alpha<0 [/mm] hastdu je schon bei 0 den Pol.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 So 28.04.2013 | | Autor: | Lustique |
Danke leduart!
|
|
|
|
